1 并不是所有的集合都可求测度. 我们的想法是先对 $\bbR^n$ 中的任一集合定义一个``外
测度'' (outer measure), 然后再加上适当的条件 (Caratheodory 条件), 使 ``
外测度'' 变为``测度'' (measure).
2 对 $E\subset \bbR^n$, 定义 $E$ 的外测度 $$\bex m^*E=\inf\sed{\sum_{n=1}^\infty |I_i|; E\subset \cup_{n=1}^\infty I_i}. \eex$$
3 外测度的性质:
(1) $m^*E\geq 0$, $m^*\vno=0$.
(2) 单调性 (monotonicity) $A\subset B\ra m^*A\leq m^*B$.
证明: 注意到 $$\bex B\subset \cup_{n=1}^\infty I_i\ra A\subset \cup_{n=1}^\infty I_i \ra m^*A\leq \sum_{n=1}^\infty |I_i|. \eex$$
(3) 次可数可加性 (sub countably additivity): $$\bex m^*\sex{\cup_{n=1}^\infty A_i}\leq \sum_{n=1}^\infty m^*A_i. \eex$$
证明: 要证明 $a\leq b$, 一个常用的方法是证明 $$\bex a<b+\ve,\quad \forall\ \ve>0. \eex$$
对 $\forall\ \ve>0,$ 由外测度的定义, $$\beex \bea \sum_{i=1}^\infty m^*A_i+\ve &=\sum_{i=1}^\infty \sex{m^*A_i+\frac{\ve}{2^i}}\\ &> \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |I_{ij}|\quad\sex{A_i\subset \cup_{j=1}^\infty I_{ij}}\\ &\geq m^*\sex{\cup_{i,j=1}^\infty A_i}\quad\sex{\cup_{i=1}^\infty A_i\subset \cup_{i,j=1}^\infty I_{ij}}. \eea \eeex$$
4 例 1: $m^*\bbQ=0$.
证明: $$\bex m^*\bbQ=m^*\sex{\cup_{i=1}^\infty \sed{r_i}} \leq \sum_{i=1}^\infty m^*\sex{\sed{r_i}} =0. \eex$$
5 例 2: 对任何区间 $I$, 有 $m^*I=|I|$.