舞蹈链（DLX）
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一、概述
特别特别感谢这位童鞋His blog
舞蹈链是一种优美的搜索，就像下面这样跳舞～
舞蹈链用于解决精确覆盖或者重复覆盖的问题
你可以想象成贪吃蛇的一个上下左右联通的地图
\(Dancing Links\)就是通过链表这样实现的
网上有图的博客
二、实现
更详细的讲解在课件中
精确覆盖
精确覆盖大概指的就是数独和八皇后那样的问题
矩阵中选择一个行的集合，使得每列有且只有一个1
那么就是说每个格子上的点都有若干限制条件（行、列、对角线），每个条件都只允许一个元素
在舞蹈链中（可以把它看作一个表格），每个元素看作一行，限制条件转化为列，选一行删去也同时要删去这一行中所有点所在的列
然后舞蹈链兹瓷快速删除这些东西和快速回溯（复杂度未知）
大概有\(init\)、\(link\)、\(remove\)、\(resume\)、\(dance\)五个函数
实现的话看代码吧，有详细的注释
Code - [luogu1219]八皇后
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=100100;
int ans,nn,o;
struct out{int a[14];}Ans[N];
namespace DLX
{
int n,m,cnt;//长宽，点的数量
int l[N],r[N],u[N],d[N];//上下左右的情况
int row[N],col[N];//每个点所处的行列
int h[N],s[N];//头节点和每列节点数
int ansk[20];//答案
void init(int nn,int mm)
{
//这个表格被循环套了起来，就像贪吃蛇的地图，左右和上下相通
//预先给第0行的每一列弄一个点
n=nn,m=mm;
for(int i=0;i<=m;i++)
r[i]=i+1,l[i]=i-1,u[i]=d[i]=i;
r[m]=0;l[0]=cnt=m;
memset(h,-1,sizeof(h));
}
void link(int R,int C)//在R行C列插入点
{
s[C]++;cnt++;//先记录这个点的各种信息
row[cnt]=R; col[cnt]=C;
//把列的链表改动
u[cnt]=C;
d[cnt]=d[C];
u[d[C]]=cnt;
d[C]=cnt;
//把行的链表改动
if(h[R]<0) h[R]=l[cnt]=r[cnt]=cnt;
else
{
r[cnt]=h[R];
l[cnt]=l[h[R]];
r[l[h[R]]]=cnt;
l[h[R]]=cnt;
}
}
void remove(int C)//删除C列以及C列上有点的行
{
r[l[C]]=r[C]; l[r[C]]=l[C];
for(int i=d[C];i!=C;i=d[i])
for(int j=r[i];j!=i;j=r[j])
{
u[d[j]]=u[j];
d[u[j]]=d[j];
s[col[j]]--;//是减得只剩下1吗（dei）
}
}
void resume(int C)//恢复C列以及C列上有点的行
{
r[l[C]]=C; l[r[C]]=C;
for(int i=d[C];i!=C;i=d[i])
for(int j=r[i];j!=i;j=r[j])
{
u[d[j]]=j;
d[u[j]]=j;
s[col[j]]++;
}
}
void dance(int deep)
{
int C=r[0];//找第一个限制条件
if(C>2*nn)//如果所有的行已经被删完就统计答案（能不能>2n）
{
ans++;
for(int i=0,x,y;i<deep;i++)
{
//记录下来选的点的编号，用编号还原行列
x=ansk[i]%nn;
y=(ansk[i]-1)/nn+1;
if(x==0) x=nn;
Ans[ans].a[y]=x;//x和y是等价的，可以交换
}
return;
}
for(int i=C;i<=nn;i=r[i])//找到点最少的列
/*
这是一处剪枝，因为删掉点最少的列，就是为了满足这个限制条件
需要枚举删掉的点就少一些，从而使得之后的剪枝更高效
相当于把搜索树繁茂的地方留给叶子，而深度越深越容易被剪枝
不加会T
*/
if(s[i]<s[C]) C=i;
remove(C);//删掉这一列
for(int i=d[C];i!=C;i=d[i])//枚举答案是这一列的哪个点，因为每一列只能选一个点，所以枚举选哪个
{
ansk[deep]=row[i];//记录答案，这个点编号是row[i]
for(int j=r[i];j!=i;j=r[j]) remove(col[j]);//这个点的行也得删了，把这行有点的列也删掉
dance(deep+1);
for(int j=r[i];j!=i;j=r[j]) resume(col[j]);//回溯
}
resume(C);//回溯过程
}
}
int cmp(const out&A,const out&B)
{
int p=0;while(A.a[p]==B.a[p]) p++;
return A.a[p]<B.a[p];
}
int main()
{
/// freopen("a.out","w",stdout);
scanf("%d",&nn);
/*
nn*nn个格子，每个格子看作舞蹈链的一行
总共有nn行nn列nn×2-1左对角nn×2-1右对角 共6×nn-2个限制
把每个限制看作一列，进行精准覆盖
*/
DLX::init(nn*nn,6*nn-2);
for(int i=1;i<=nn;i++)
for(int j=1;j<=nn;j++)
{
o++;
DLX::link(o,i);//占据第i行
DLX::link(o,j+nn);//占据第j列（能不能不写这一句）
DLX::link(o,i-j+3*nn);//占据第i-j+nn个左上到右下的对角线
DLX::link(o,i+j+4*nn-2);//占据第i+j-1个右上到左下的对角线
}
DLX::dance(0);//跳舞啦
sort(Ans+1,Ans+ans+1,cmp);
for(int i=1;i<=3;i++,puts(""))
for(int j=1;j<=nn;j++) printf("%d ",Ans[i].a[j]);
printf("%d\n",ans);return 0;
}
Code - Easy Finding戳我
重复覆盖
矩阵中选择一个行的集合，使得每列至少有一个1
所以选了一列之后不能把列中有1的所有的行删掉，复杂度会提高，加一个估价函数的\(A*\)剪枝
Code - [FZU1686]神龙的难题
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=70000;
int A[20][20],n,m,n1,m1;
int o,ans,tt;
namespace DLX
{
int n,m,p,u[N],d[N],l[N],r[N];
int col[N],row[N],h[300],s[300],vis[300];
void init(int nn,int mm)
{
n=nn,m=mm;
for(int i=0;i<=m;i++)
l[i]=i-1,r[i]=i+1,d[i]=u[i]=i,s[i]=0;
p=m;l[0]=m;r[m]=0;
memset(h,-1,sizeof(h));
}
void link(int R,int C)
{
p++;row[p]=R;col[p]=C;s[C]++;
d[p]=C;u[p]=u[C];
d[u[C]]=p;u[C]=p;
if(h[R]<0) h[R]=l[p]=r[p]=p;
else r[p]=h[R],l[p]=l[h[R]],r[l[h[R]]]=p,l[h[R]]=p;
}
void remove(int C)
{
for(int i=d[C];i!=C;i=d[i])
l[r[i]]=l[i],r[l[i]]=r[i];
}
void resume(int C)
{
for(int i=u[C];i!=C;i=u[i])
l[r[i]]=i,r[l[i]]=i;
}
int H()
{
int res=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=r[0];i;i=r[i])
{
if(vis[i]) continue;
vis[i]=1; res++;
for(int j=d[i];j!=i;j=d[j])
for(int k=r[j];k!=j;k=r[k])
vis[col[k]]=1;
}
return res;
}
void dance(int step)
{
if(step+H()>=ans) return;
if(r[0]==0) {ans=min(ans,step);return;}
int C=r[0];
for(int i=r[C];i;i=r[i]) if(s[i]<s[C]) C=i;
for(int i=d[C];i!=C;i=d[i])
{
remove(i);
for(int j=r[i];j!=i;j=r[j]) remove(j);
dance(step+1);
for(int j=l[i];j!=i;j=l[j]) resume(j);
resume(i);
}
}
}
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
o=1;ans=1e9;tt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1,x;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&x);
if(x) A[i][j]=++tt;
else A[i][j]=0;
}
scanf("%d%d",&n1,&m1);
DLX::init((n-n1+1)*(m-m1+1),tt);
for(int i=1;i<=n-n1+1;i++)
for(int j=1;j<=m-m1+1;j++,o++)
for(int x=i;x<=i+n1-1;x++)
for(int y=j;y<=j+m1-1;y++)
if(A[x][y]) DLX::link(o,A[x][y]);
DLX::dance(0);printf("%d\n",ans);
}
}
三、尾声
舞蹈链的复杂度是指数级别的，但是由于有非常强大的剪枝所以可以有玄学复杂度
在一般竞赛中舞蹈链并没有很广泛的应用和考察
但是这种思想需要大家了解，体会其中舞蹈的优美
弄个题单吧