有标号的DAG计数 II

Description

给定一正整数n，对n个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数，输出答案mod 998244353的结果

Solution

考虑 \(O(n^2)\) DP

枚举出度为 \(0\) 的点,构成的新\(DAG\)方案数为

\(f[i]=f[i-1]*C_{n}^{1}*2^{n-1}\)

即从 \(n\) 个点中选出一个点,作为出度为 \(0\) 的点,然后剩下 \(n-1\) 个点向这个点任意连边

但是 \(f[i-1]\) 中也会有出度为 \(0\) 的点,那么就算重了,考虑容斥这个算重的东西

\(f[n]=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}**f[i-j]*C_{i}^{j}*2^{j*(i-j)}\)

即至少有一个出度为 \(0\) 的点-至少有两个的+....

这个式子可以 分治+\(NTT\) 优化

只需要拆 \(2^{j*(i-j)}\) 这个东西就行了

\(\sqrt(2)\) 的逆元可以枚举求出来

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=4e5+10,G=116195171,mod=998244353;

inline int qm(int x,ll k){

	int sum=1;

	while(k){

		if(k&1)sum=1ll*sum*x%mod;

		x=1ll*x*x%mod;k>>=1;

	}

	return sum;

}

inline int inv(int x){return qm(x,mod-2);}

int n,m,R[N];

inline void NTT(int *A){

	for(int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(A[i],A[R[i]]);

	for(int i=1;i<n;i<<=1){

		int t0=qm(3,(mod-1)/(i<<1)),x,y;

		for(int j=0;j<n;j+=i<<1){

			int t=1;

			for(int k=0;k<i;k++,t=1ll*t*t0%mod){

				x=A[j+k];y=1ll*t*A[j+k+i]%mod;

				A[j+k]=(x+y)%mod;A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;

			}

		}

	}

}

inline void mul(int *A,int *B){

	NTT(A);NTT(B);

	for(int i=0;i<=n;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;

	NTT(A);

	reverse(A+1,A+n);

	for(int i=0,t=inv(n);i<=n;i++)A[i]=1ll*A[i]*t%mod;

}

int Fac[N],Finv[N],Gac[N],Ginv[N],a[N],b[N],f[N];

void priwork(int n){

	Fac[0]=Finv[0]=Gac[0]=Ginv[0]=1;

	for(int i=1;i<=n;i++){

		Fac[i]=1ll*Fac[i-1]*i%mod;

		Finv[i]=inv(Fac[i]);

		Gac[i]=qm(G,1ll*i*i);

		Ginv[i]=inv(Gac[i]);

	}

}

inline void solve(int l,int r){

	if(l==r)return ;

	int mid=(l+r)>>1,L;

	solve(l,mid);

	m=r-l+1;

	for(n=1,L=0;n<=m;n<<=1)L++;

	for(int i=0;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1)),a[i]=b[i]=0;

	for(int i=l;i<=mid;i++)a[i-l]=f[i];

	for(int i=1,o=1?1:-1;i<m;i++,o=-o){

		b[i]=1ll*o*Finv[i]*Ginv[i]%mod;

		if(b[i]<0)b[i]+=mod;

	}

	mul(a,b);

	for(int i=mid+1;i<=r;i++)f[i]=(f[i]+a[i-l])%mod;

	solve(mid+1,r);

}

int main(){

  freopen("pp.in","r",stdin);

  freopen("pp.out","w",stdout);

  int n;cin>>n;

  priwork(n);f[0]=1;

  solve(0,n);

  f[n]=1ll*f[n]*Fac[n]%mod*Gac[n]%mod;

  printf("%d\n",f[n]);

  return 0;

}