1.禅师和青年之间的对话
2.制作一个莫比乌斯带
3.神奇的莫比乌斯带
4.对莫比乌斯带进行简单的数学建模
1.禅师和青年之间的对话
青年问禅师：“大师，我很爱我的女朋友，她也有很多优点，但是总有几个缺点让我非常讨厌，有什么什么方法能让她改变？” 禅师浅笑，答：“方法很简单，不过若想我教你，你需先下山为我找一张只有正面没有背面的纸回来。” 青年略一沉吟，掏出一个麦比乌斯环。
大师说，“刚才说的不算，你要找到一个没有里外的瓶子才行”。年轻人又默默的从怀里掏出了一个克莱因瓶。
2.制作一个莫比乌斯带
其实，可以自己做一个莫比乌斯带，只需要那一个纸条，然后旋转180度，最后"粘合"两个两端，就成了一个莫比乌斯带。如下：
旋转180度后，粘合纸片的两端，形成一个莫比乌斯带，如下：
3.神奇的莫比乌斯带
莫比乌斯带，有许多神奇的特性，比如用一个剪子从纸片的二分之一处一直剪到尾部，最终是会形成两个分离的莫比乌斯带还是?老实说，我第一次是一位会分离成两个独立的莫比乌斯环。
结果是，剪开会最终还是一个完整的环，并且这个新的环不是莫比乌斯带，而是一个旋转了360度的环。其实可以亲手做一下，只是由于手上没有剪刀不容易演示这个。
如果此时在沿着这个新的环中间剪开，会发现，竟然形成了两个环，并且其中的一个套着另一个，太不可思议了....
更神奇的是，对于一个莫比乌斯环，如果不从中间剪开，而是从三分之一处剪开，结果竟然是......可以亲自试一下。
4.对莫比乌斯带的简单建模
一个纸片，经过某种变形之后，形成了一个新的图形，莫比乌斯带。
对莫比乌斯带进行完整的建模需要用到许多拓扑学里面的概念，譬如等价关系，等价类，商集，拓扑空间，拓扑变换，商空间等等，因此下面只是一个简单的建模，有助于形象化理解。OK， 开始抽象吧。
1)对纸片抽象
由于纸片是一个物理实体，不方便对他进行数学描述。因此，可以考虑将纸片放到一个二维笛卡尔坐标系里面进行研究，这样，一个纸片实际上就是笛卡尔坐标系里面的一些点的集合，此时，我们就可以用诸如(x,y)这样的数学符号来描述了。同时，为了研究的方便，先从最简单的情况入手，使用一个变成为1的正方形来代替纸片，如下：
现在考虑怎么将这个正方形变换成一个莫比乌斯带(严格的说并不正确，因为莫比乌斯带只能在三维空间里面观看。这里是从拓扑学的角度来看的，既将正方形变换成了一个新的拓扑空间(商空间)，这个新的拓扑空间具有和莫比乌斯带一样的性质，既这个新的拓扑空间和莫比乌斯带同胚，同时，由于这是一个拓扑空间，所以我们不关于这个拓扑空间的大小，形状等因素，这就是拓扑学的好处，对问题进行了高度的抽象，从而使你只关心问题本身，而不忽略掉其他次要的外界因素)
2.对变换进行抽象
注意:这里的变换就是拓扑学里面的一个等价关系
要将上述图形变换成一个莫比乌斯带，只需将(0,1)和(1,0)两点看成一个点，将(0,0.9)和(0.9,0)看成一个点... ... 将(0,0)和(1,1)看成一个点。发现了这个规律之后，我们将这个规律一般化，就是将(0,y)和(1，1-y)看成粘合成一个点。
3.结果
变换后的结果就是一个莫比乌斯带(和莫比乌斯带同胚的一个拓扑空间)