【[HNOI2015]亚瑟王】

神仙题，抄题解

用\(tp_i\)表示\(i\)这个技能在\(r\)轮中被使用过的概率

于是最后的答案就是\(\sum_{i=1}^nd_i*tp_i\)

首先\(tp_1=1-(1-p_1)^r\)，也就是连续\(r\)轮都没有使用的概率

之后往下的\(tp\)靠\(dp\)来求

设\(dp_{i,j}\)表示在一共\(r\)轮里，前\(i\)个恰好有\(j\)个被发动的概率

那么

\[tp_i=1-\sum_{j=0}^rdp_{i-1,j}*(1-p_i)^{r-j}
\]

还是先算一下这个技能一直都没有发动的概率，如果前面有\(j\)个技能使用了，那么那对应的轮次是一定不会使用当前技能的，剩下的轮次，也就是\(r-j\)轮我们让其不发动就好了

之后是\(dp_{i,j}\)的转移

如果这一个技能并没有发动，那么就从\(dp_{i-1,j}\)转移过来

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j}*(1-p_i)^{r-j}
\]

如果这个技能发动了，那么就需要从前面的\(dp_{i-1,j-1}\)转移

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}*(1-(1-p_i)^{r-j+1})
\]

我们还是先令技能\(i\)不发动，那么前面就会有\(r-j+1\)个轮次可能发动，我们都让其不发动，之后拿\(1\)减掉，就是发动的概率了

代码

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

#define re register

#define maxn 225

#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))

double dp[maxn][maxn];

double p[maxn];

int d[maxn],n,T,m;

double tp[maxn];

inline double quick(double a,int b)

{

	double S=1.0;

	while(b) {if(b&1) S*=a;b>>=1,a*=a;}

	return S;

}

int main()

{

	scanf("%d",&T);

	while(T--)

	{

		memset(dp,0,sizeof(dp));

		memset(p,0,sizeof(p));

		memset(tp,0,sizeof(tp)),

		memset(d,0,sizeof(d));

		scanf("%d%d",&n,&m);

		for(re int i=1;i<=n;i++)

			scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);

		dp[1][0]=quick((1-p[1]),m);

		dp[1][1]=1-dp[1][0];

		tp[1]=dp[1][1];

		for(re int i=2;i<=n;i++)

		{

			for(re int j=0;j<=min(i-1,m);j++)

				tp[i]+=dp[i-1][j]*quick((1-p[i]),m-j);

			tp[i]=1-tp[i];

			for(re int j=0;j<=min(i,m);j++)

			{

				dp[i][j]=dp[i-1][j]*quick((1-p[i]),m-j);

				if(j) dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]*(1-quick((1-p[i]),m-j+1));

			}

		}

		double ans=0;

		for(re int i=1;i<=n;i++)

			ans+=tp[i]*d[i];

		printf("%.10lf",ans),putchar(10);

	}

	return 0;

}