bzoj 3823: 定情信物线性筛逆元

3823: 定情信物

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Description

都说程序员找不到妹子,可是无人知晓,三生石上竟然还刻着属于小 E 的一笔。

那一天,小 E 穷尽毕生的积蓄,赠与了妹子一个非同寻常的定情信物。那是一个小

小的正方体,但透过它,可以看到过去,可以洞彻天机。

这份信物仿佛一只深邃的眼。当看透它看似简单的外表后,深邃的内心却最是可以

叩击人的灵魂的。不出所料,妹子果然被这个信物超越空间的美所吸引。

“易有太极,是生两仪,两仪生四象,四象生八卦。,八卦定吉凶,吉凶生大业。”

这句箴言在其上得到了完美的诠释。

是的,这正是一个超正方体。

小 E 告诉妹子,他的情意也如这份信物一样深厚。现在妹子想知道,小 E 对她的情

意究竟有几分?

我们知道,点动成线,线动成面,面动成体......即 n 维超立方体可看作由 n-1 维超

立方体沿垂直于它的所有的棱的方向平移得到的立体图形。

我们可以将点看作 0 维超立方体,将直线看作 1 维超立方体,将正方形看作 2 维超

立方体......依此类推。

任何一个 n 维超立方体(n>0)都是由低维的超立方体元素组成的:它的 n-1 维表面

是 n-1 维的超立方体,它的 n-2 维边缘是 n-2 维的超立方体,它的 n-3 维元素是 n-3 维的

超立方体......

小 E 对妹子的情意即为在他的定情信物——K 维超立方体中,含有每一维的元素个

数。由于元素个数可能较大,只需要输出它所包含的每一维元素个数模 P 后的异或和。

Input

两个整数 K、P,详见题目叙述。

Output

一个非负整数,表示小 E 的定情信物所包含的每一维元素个数模 P 后的异或和。注

意:异或和可能会大于 P。

Sample Input

input 1
3 7

Input 2

4 2333

Input 3

12 7723

Sample Output

Output1

Output 2

Output 3

360

Hint
对于样例2的解释:
一个三维超立方体含有 8 个零维元素、12 个一维元素、6 个二维元素、1 个三维

元素,模 7 后分别为 1,5,6,1,异或和为 1^5^6^1=3。

HINT

对于 100%的数据,N≤10^7,P 为 10^9 内的素数。

网上题解1mol多，基本没什么可以过5 3这组数据的。。。。

对于n维的情况，我们可以考虑k维元素的“向量”是由在n维的n个方向任选k个完全定义的，同样的向量有2^（n-i)个,所以是C（n,i)*2^i，yy一下求逆元的方法就行了。

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define MAXN 11000000

typedef long long qword;

int inv[MAXN];

int prime[],topp=-;

bool pflag[MAXN];

qword n,p;

qword pow_mod(qword x,qword y)

{

        qword ret=;

        while (y)

        {

                if (y&)ret=ret*x%p;

                x=x*x%p;

                y>>=;

        }

        return ret;

}

void init()

{

        inv[]=;

        for (int i=;i<=n;i++)

        {

                if (!pflag[i])

                {

                        prime[++topp]=i;

                        inv[i]=pow_mod(i,p-);

                }

                for (int j=;j<=topp && (qword)i*prime[j]<MAXN;j++)

                {

                        pflag[i*prime[j]]=true;

                        inv[i*prime[j]]=(qword)inv[i]*inv[prime[j]]%p;

                        if (i%prime[j]==)break;

                }

        }

}

int main()

{

        freopen("input.txt","r",stdin);

        scanf("%lld%lld",&n,&p);

        qword x,y,z;

        int i,j,k;

        qword ans=;

        init();

        x=;y=;

        ans^=x*y%p;

        int totp=;

        for (i=;i<=n;i++)

        {

                x=x*%p;

                z=n-i+;

                while (z%p==)totp++,z/=p;

                y=y*z%p;

                z=i;

                while (z%p==)totp--,z/=p;

                y=y*inv[z%p]%p;

                ans^=totp?:x*y%p;

        }

        printf("%lld\n",ans);

}

信物