本文是笔者在线看Lektorium上John Morgan在圣彼得堡国立大学欧拉研究所的讲座做的笔记。第一讲以如下内容组成
1. 黎曼曲面上的联络
黎曼流形$(M^n,g)$中，$M$为$n$维流形，而$g$为正定的黎曼度量，即$g_{ij}(x^1,x^2,\cdots,x^n)dx^i\otimes dx^j$，而$(g_{ij})$是对称正定的。
$\nabla$是联络(我们可以把它看成“方向导数”($\nabla_X$为求$X$方向))，它的定义域与值域为$\nabla:Vect(M)\otimes_{\mathbb{R}}Vect(M)\times Vect(M)$，也即将两个$M$上的向量场映射到$M$上的向量场，即$\nabla_X(Y)\in Vect(M)$.且满足如下三条性质：
线性性，即关于$X$的$f\in C^{\infty}(M)$线性，有$\nabla_{fX+Y}(Z)=f\nabla_{X}(Z)+\nabla_{Y}(Z)$
但是注意到关于第二个值并没有$C^{\infty}M)$线性，就是$\nabla_X(fY)=f\nabla_X(Y)+X(f)\cdot Y$- $X(\langle Y_1,Y_2\rangle)=\langle \nabla_X(Y_1),Y_2\rangle+\langle Y_1,\nabla_X(Y_2)\rangle$,这表示“与度量相容”，也就是$\nabla_X(g)=0$.为什么会这样呢？我们本来想象需要对$Y_1,Y_2$以及$g$分别求“方向导数”，而只有两项留下来了，也就是对度量求“导数”会恒为$0$.
- 无挠，也就是$\nabla_X(Y)-\nabla_Y(X)=[X,Y]$.这个定义Morgan认为他不是很明白，因为$\nabla_X(Y)$同样可以定义为$\nabla:Vect(M)\otimes_{\mathbb{R}} \Gamma(E)\to \Gamma(E)$, 其中$\Gamma(E)$是向量丛的截面。而无挠性不能延伸到这个定义域上，因为$\nabla_Y$没有意义。
满足如上三个性质的联络成为Levi-Civita联络。于是我们有如下定理：
（笔者按：Levi-Civita可以用$$2\langle \nabla_X Y,Z\rangle= X\langle Y,Z\rangle- Z\langle Y,X \rangle + Y \langle Z,X \rangle- \langle Z,[Y,X]\rangle +\langle [Z,Y],X\rangle -\langle Y,[X,Z]\rangle$$来定义，满足以上条件）
由于在局部，我们可以用$\partial_i(i=1,2\cdots n)$来张成$T_xM|_U$,我们可以令$\nabla_{\partial_i}(\partial_j)=\Gamma_{ij}^k \partial_k$，(从而我们通过前面知道$$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2} g^{lk}(\partial_j g_{ki}+\partial_i g_{jk}-\partial_k g_{ij})$$,从而惟一性成立）
2.测地线,高斯映射
$\dot{\gamma}(t)\in T_{\gamma(t)}M$,其中$\gamma(t)=(x^1(t),x^2(t),\cdots,x^n(t))$为$M$上的曲线，$\dot{\gamma}=(\dot{x}^1(t),\dot{x}^2(t),\cdots,\dot{x}^n(t))$为速度。曲率线方程即为$\nabla_{\dot{\gamma}(t)}(\dot{\gamma}(t))=0$。注意到$\nabla$作用在$M$上的向量场上，而$\dot{\gamma}$并非向量场，所以我们需要把$\dot{\gamma}$延拓到全流形上。（笔者按：由于$\frac{d^2 x^k}{dt^2}+\Gamma_{ij}^k \frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}=0$）
由于常微分方程解的存在惟一性，给定了$\gamma(0)$以及$\dot{\gamma}(0)$,我们就得到一条测地线。也就是说，我们能够构造一个从$T_{\gamma(0)}M\to M$的映射，也即初始向量为此向量的测地线到达的$M$上的点。我们设为$\exp:T_x M\to M$,在起点的领域$B(0,\epsilon)$上有定义。
3.曲率
我们有了零阶的信息（度量），一阶信息（测地线、联络），那么二阶信息是什么呢？我们认为是曲率
问题如下：一个度量的几何性质是怎么样的（我们能从度量的句子$(g_{ij})$中获得什么信息）
在单点上，实际上度量没有任何信息，所有的度量都是等价于标准的欧氏度量，我们可以通过坐标变换把矩阵变成对角阵，从而得到标准度量。
这样的标准性能到几阶呢？似乎我们只能最多到2阶。曲率是唯一的几何不变量。而有定理:高斯度量完全由曲率决定（也就是局部来说，黎曼曲率包含了所有信息）
我们还没有定义曲率，曲率定义如下：$R(X,Y)=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$,由于Levi-Civita联络的定义我们知道$R(X,Y)f=0$成立。
奇迹的是，我们可以计算,对于$Z$关于$C^{\infty}(M)$成立，也就是$R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z$。所以我们可以定义4-张量，$\langle R(X,Y)Z,W\rangle$,对于四个变量都是线性的，从而定义$R_{ijk}^l\partial_l=R(\partial_i,\partial_j)\partial_k$。
将符号降下来，可以定义$R_{ijkl}=g_{mk}R_{ijk}^m=\langle R(\partial_i,\partial_j)\partial_l,\partial_k\rangle$.,通过前面我们知道$R_{ijkl}(dx^i\wedge dx^j)\otimes (dx^l\wedge dx^k)$为在$\bigwedge^2 TM$上的对称2-张量。
黎曼定义的曲率来源于高斯曲率的定义
也就是在曲面上一点附近的测地圆（也就是以$|x|\le \epsilon$为半径的$T_xM$上的向量用高斯映射映至的区域）和平面上的圆相差多少？高斯认为是
$$\lim_{\epsilon\to 0}12\frac{\pi\epsilon^2-Area(B(p,\epsilon))}{\pi \epsilon^4}$$
定义为高斯曲率（实际上我们通常定义不是这样的，定义的等价性成为Bertrand–Diquet–Puiseux定理）
此时，$\bigwedge^2 TM=\mathbb{R}$,而黎曼曲率$R:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$仅为乘上高斯曲率。
也就是在指数映射$\exp:\mathbb{R}^n\to M$拉回,我们在$T_p(M)=\mathbb{R}^n$原点附近有度量$\exp^*(g)=\hat{g}$。$\hat{g}$有基于$R$的公式。（$\hat{g}$ is identity up to 2-nd order,这句话没懂是什么意思）也就是度量在坐标变换，也就是同胚群作用的意义下只与黎曼曲率相关。
所以我们可以知道，如果一个度量在某个邻域内为欧氏度量当且仅当黎曼曲率为0.
最后我们给出Ricci曲率的定义：$Ric_{ij}dx^i\otimes dx^j$为对称2-张量，有$Ric_{ij}=g^{kl}R_{iklj}$.
4.整体性质
局部来看，在坐标变换的意义下，度量完全被曲率所决定。但是在整体性质却不一样，一般来说度量的性质不完全由曲率决定。黎曼流形除了曲率外有更多整体不变量。比如一个范例如下：
对于紧平的曲面（黎曼曲率为0且有界），我们考虑环面$(T^2,g)$,$(\mathbb{R}^2,g)$ 为欧氏空间,万有覆盖映射$\pi:\mathbb{R}^2\to T^2$.由于$T^2$的同伦群$\pi_1(T^2)=H_1(T^2)\subset \mathbb{R}^2$是格$\Lambda$.从而$T^2\cong \mathbb{R}^2/\Lambda$为等距同构。
我们就来研究格，格的基为$v_1,v_2$
用复数表示为$v_2=\tau v_1,\tau\in\mathbb{C}$,我们选择定向，使得$\tau\in \mathbb{H}^2$.而由于在行列式为$1$的整数矩阵变换下格不变，所以$[\tau]\in \mathbb{H}^2/SL_2(\mathbb{Z})\cong S^2-\{\infty\}$.同时$\mathbb{R}^+=area(T^2)$，所以我们有一族平的环面构成的3维实空间，它们都有相同的度量（平整度量）
对于更高的亏格会如何呢？对于$\Sigma_g(g>1)$，我们用$(\mathbb{H}^2,g),g=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}$进行覆盖，而$\mathbb{H}^2$在实$2\times 2$的矩阵下不变。所以$\Sigma_g$有$\mathbb{H}^2/\Gamma,\Gamma\subset PSL_2(\mathbb{R})$给出。这样的双曲度量形成了$6g-6$维的空间。
但在更高维，情况就不一样了。我们可以类似地定义$\mathbb{H}^n$以及它的度量。同样具有常截曲率$-1$。而同理得到的流形$H^n/\Gamma_n$ 由于Mostow Rigidity定理，是唯一的。其中$\Gamma_n$为基本群。也就是说，例如在3维，固定了基本群，我们只能得到至多一个度量。
5.极限——几何极限与Gromov-Hausdorff极限
如何定义一族流形$\{(M_n,g_n,x_n\in M_n)\}_{n=1}^{\infty}$趋近一个极限流形$(M_{\infty},g_{\infty},x_{\infty})$(其中$x$为基点)?我们通过一个例子进行讲述：假如$M_n=M,x_n=x$,只有$g_n=\lambda_n^2 g,\lambda_n^2\to\infty$,在平常我们的想象中，应该有流形趋近于它的切空间，也就是$(T_xM,g|_x)$,就像一个无限大的球面在局部来看就趋于平面一样。
我们来定义几何极限，也就是存在开区间$U_n\subset M_{\infty},x_{\infty}\in U_n\subset U_{n+1}\subset \cdots$,且 $\bigcup_n U_n=M_{\infty}$，其中$U_n$满足存在嵌入$\varphi_n:U_n\hookrightarrow M_n,\varphi_n(x_{\infty})=x_n$,且$\varphi_n^*(g_n)\to g_{\infty}$在任意的紧集上一致收敛。就如一些例子：
在基点选为红色的点，我们不断拉长拉瘪中间的柄，得到就是红色的流形，这也说明极限流形的拓扑性质会改变，亏格由3变为1。
如果点在右边那段上，则收敛到的流形亏格为2.
但如果放在中间的柄上，最后会怎么样的？我们期望它收敛到一条直线，而这显然不可能由几何收敛做到，我们就引入Gromov-Hausdorff这种“弱收敛”来解决这个问题。
以下是第二讲的内容。
首先我们回顾了黎曼曲率的定义$R(X,Y,Z,W)=\langle R(X,Y)W,Z\rangle$,其中$R(X,Y)=\nabla_X \nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}$.而截曲率是定义在$T_x M$的二维子空间$P$上，令$X,Y$为P的基，那么截曲率定义为$R(X,Y,X,Y)=\langle R(X,Y)Y,X\rangle$(这样定义黎曼曲率是由于，如果定义为$\langle R(X,Y)X,Y\rangle$,球的黎曼曲率会变为$-1$,与历史上定义球的高斯曲率为$1$不符。我们将在下面的计算中看到这点。)
6.球的截曲率的计算
我们考虑球的赤道，只需要计算赤道上每一点的截曲率，由于对称性，我们就可以解出所有点的截曲率。令$y$为“经度”，$x$为“纬度”，且令$X=\partial_x,Y=\partial_y$,有$$\langle R(X,Y)Y,X\rangle=\langle \nabla_X\nabla_Y(Y)-\nabla_Y\nabla_X(Y),X\rangle$$
由于$Y$是测地线，则$\nabla_Y(Y)=0$，我们需要计算$\nabla_X(Y)$.而由于我们需要对$Y$求方向导数，即考察$y$方向在水平面上的投影向量求导，为$-\sin{y}\partial_x$,再乘以圆的半径$\cos{y}$,得到$\nabla_X(Y)=-\cos{y}\sin{y}\partial_x$.由于我们再考虑的是在$y=0$的值，所以不考虑$\nabla_Y(\partial_x)$因为前面系数为0.从而有$$\nabla_Y\nabla_X(Y)=(\sin^2{y}-\cos^2y)|_{y=0}=-1$$
从而$\langle R(X,Y)Y,X\rangle=1$成立
7.度量放大后黎曼曲率与Ricci曲率的变化
接下来我们讨论是当度量放大$\lambda^2$倍后，即$h=\lambda^2 g$，各个曲率将会如何变化？我们计算得知黎曼曲率$R(X,Y,Z,W)$放大了$\lambda^2$倍，而Ricci曲率$Ric(X,Z)$与原来相等。这是注意到前面提过的
$\nabla_{\partial_i}(\partial_j)=\Gamma_{ij}^k \partial_k$，且$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2} g^{lk}(\partial_j g_{ki}+\partial_i g_{jk}-\partial_k g_{ij})$成立，也就是说，由于$g_{ij}$变为原来的$\lambda^2$倍，而$g^{lk}$变为原来的$\lambda^{-2}$倍，也就是$\Gamma$没有变化。那么$\nabla_X(Y)$也没有变化。但是由于内积$\langle,\rangle$变为原来的$\lambda^2$倍，就是$R(X,Y,Z,W)$变为原来的$\lambda^2$倍。
但是我们会观察到，当球面增大的时候，它的高斯曲率反而变小了，这是因为向量的“减小”导致的。由于在新的度量下，原来的单位向量$X,Y$必须变为新的单位向量$\lambda^{-1}X,\lambda^{-1}Y$.对于截曲率我们就有$$\sec_h(P)=R_h(\lambda^{-1}X,\lambda^{-1}Y,\lambda^{-1}X,\lambda^{-1}Y)=\lambda^{-2}R_g(X,Y,X,Y)=\sec_g(P)$$
而且对于Ricci曲率，我们计算得到$$Ric_h(X,Z)=\sum_{Y_i \mbox{ basis}} R_h(X,Y_i,Z,Y_i)=\sum_{Y_i \mbox{ basis}} \lambda^2 R_g(X,\lambda^{-1} Y_i,Z,\lambda^{-1} Y_i)$$
是由于$Y_i$是正交向量场，在原坐标下是$\lambda^{-1} Y_i$才是正交向量场，也就是Ricci曲率没有变化。
8.Bishop-Gromov不等式
我们同时给出黎曼曲面内著名的比较定理：Bishop-Gromov不等式
这个定理在全局的意义下也成立，是由于$M$在$R$增大的时候$B$会倒塌。
9.Ricci流以及在某些特殊流形上的解
Ricci流的定义如下：在$M$上的度量$g(t)$满足$$\frac{\partial g(t)}{\partial t}=-2Ric(g(t))$$
是弱双曲方程。它在短时间内是存在唯一的。具体刻画是：
存在性：给定$M^n$为紧的，度量$g_0$,则$\exists \epsilon>0,$存在光滑的$g(t)(0\le t\le \epsilon)$ ,满足$g(0)=g_0$且满足该方程。
惟一性：对于$g(t),h(t)$为解，且$g(0)=h(0)$,那么在共同的定义域上$g=h$。
对于某些特殊流形我们可以研究Ricci流的显式解。比如Einstein流形，也就是$(M,g)$为流形，且满足$Ric(g_0)=\lambda g_0$,其中$\lambda$为常数。
那么该Ricci流的解为$g(t)=(1-2\lambda t)g_0$。因为$\frac{\partial g(t)}{\partial t}=-2\lambda g_0=-2Ric(g_0)=-2Ric(g(t))$,最后一个等号成立是由于$g(t)$是$g_0$的倍数，利用前面的放大性质得到。
所以当$\lambda>0$,在$t=1/2\lambda$的时候为奇点，由于流形退化了。比如一个球会退化到一个点上，这种现象对于$\lambda>0$的黎曼流形都成立。
当$\lambda<0$,$g(t)$对与所有$t$成立。考虑$g(t)/t=(1+2|\lambda|t)/t g_0\to 2|\lambda| g_0$是一个有限的极限。这个极限也是Perelman用来在3维的Ricci流中寻找无穷远的双曲部分使用的方法。他考虑的是在体积不倒塌的区域上，取缩小为$1/t$,那么这个区域与其度量收敛到双曲3维流形。
其他可以计算Ricci流的方程为积流形，也就是两个流形的笛卡尔积。例如$S^2\times \mathbb{R}$,有度量$g_{s^2}+dt^2$,在$t\to\infty$时候，原来的流形缩至一条直线。除了这些流形以为，我们没法给出更多整体的Ricci流的性质
10.怎么研究Ricci流？
怎么研究Ricci流？我们有三种方法可以使用：
- 直接计算方程，正是我们前面使用的
- 极大值原理——在一定范围内控制数量曲率
- Bishop-Gromov不等式的双曲形式
第一个方法，我们使用对于体积的估计，我们知道，体积的定义是
\[vol(U)=\int_U(\det(g))^{1/2}d\vec{x},\quad U\subset\mbox{ coordinate patch}\]
那么如果$\frac{\partial g(t)}{\partial t}=-2Ric(t)$,则$\frac{d}{dt}vol(U)=\int_U -R dvol$,其中$R$为数量曲率。这是由于\begin{align*}\frac{d}{dt}vol(U)&=\int_U\frac{1}{2} (\det(g))^{-1/2}\frac{\partial }{\partial t}\det(g) \\ &=\int_U\frac{1}{2} (det(g))^{-1/2} \det(tr(\frac{\partial}{\partial t}g))=\int \frac{1}{2}(\det(g))^{-1/2} tr(-2Ric) \\ &=-\int tr(Ric) dvol=-\int R dvol \end{align*}
所以这也表明了，正的数量曲率代表这体积在变小，负的数量曲率体积变大
第二个方法，就是$$\frac{\partial R}{\partial t}=\Delta R+\frac{2}{n} R^2+2|Ric_0|^2$$
其中$Ric_0=Ric-\frac{R}{n}g$为迹0的Ricci曲率（也就是正交分解）。所以对于$R_{min}(t)=\min_{x\in M}(R(x,t))$,我们有\[\frac{d R_{min}(t)}{dt}\ge \frac{2}n R_{min}^2(t)\]成立，是由于其他两项都大于等于0.而同理可得对于固定的$y$,$\frac{d R(y,t)}{dt}\ge \frac{2}n R^2(y,t)$.通过这里我们有两个推论。
1.$R_{min}(t)$单调递增
2.若$R_{min}(0)>0$，那么在有限时间内会爆破，也就是$R_{min}$达到无穷。而若$R_{min}(0)<0$,则$$R_{min}(t)\ge \frac{-n|R_{min}(0)|}{2|R_{min}(0)|t+n}$$也即它的渐进下界为$-n/(2t)$.