4570: [Scoi2016]妖怪


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Description


邱老师是妖怪爱好者,他有n只妖怪,每只妖怪有攻击力atk和防御力dnf两种属性。邱老师立志成为妖怪大师,于
是他从真新镇出发,踏上未知的旅途,见识不同的风景。环境对妖怪的战斗力有很大影响,在某种环境中,妖怪可
以降低自己k×a点攻击力,提升k×b点防御力或者,提升自己k×a点攻击力,降低k×b点防御力,a,b属于正实数
,k为任意实数,但是atk和dnf必须始终非负。妖怪在环境(a,b)中的战斗力为妖怪在该种环境中能达到的最大攻击
力和最大防御力之和。strength(a,b)=max(atk(a,b))+max(dnf(a,b))环境由a,b两个参数定义,a,b的含义见前
文描述。比如当前环境a=3,b=2,那么攻击力为6,防御力为2的妖怪,能达到的最大攻击力为9,最大防御力为6。
所以该妖怪在a=3,b=2的环境下战斗力为15。因此,在不同的环境,战斗力最强的妖怪可能发生变化。作为一名优
秀的妖怪训练师,邱老师想发掘每一只妖怪的最大潜力,他想知道在最为不利的情况下,他的n只妖怪能够达到的
最强战斗力值,即存在一组正实数(a,b)使得n只妖怪在该环境下最强战斗力最低。
 

Input


第一行一个n,表示有n只妖怪。接下来n行,每行两个整数atk和dnf,表示妖怪的攻击力和防御力。
1≤n≤10^6, 0<atk,dnf≤10^8

Output


输出在最不利情况下最强妖怪的战斗力值,保留4位小数。

Sample Input


Sample Output


8.0000

分析


虽然是看了别人的博客才写起的,但也要写博客加深印象。
设atk为x,dnf为y。那么每个妖怪能看成平面上的一个点(x,y)
设最强战斗力为L
[Bzoj4570][Scoi2016]妖怪(右上凸包)-LMLPHP
合并一下
[Bzoj4570][Scoi2016]妖怪(右上凸包)-LMLPHP

发现是L是一条斜率-b/a的直线。

如果已知直线L,在它下最强的妖怪是谁呢?

那么画图来试试,一大堆小点点是一个妖怪,然后右上角是维护的右上凸包

[Bzoj4570][Scoi2016]妖怪(右上凸包)-LMLPHP

发现粉色直线与右上凸包的切点是在它下的最强妖怪

为什么是右上凸包与它切点最优,因为我们答案是横纵截距之和,我们把直线往下平移发现横纵截距都在减小,肯定不会比切点的战斗力小

已知右上凸包怎么对右上凸包每个点求出一个最优的斜率k使它为切点?

可以得出结论:斜率一定是大于它与上一个点连线的斜率,小于它与下一个点连线的斜率

设右上凸包每一个点与下一个点连线斜率为ki

那么斜率k就在这个范围内[Bzoj4570][Scoi2016]妖怪(右上凸包)-LMLPHP,我们要在这个范围内求一个点使答案最小。

当我们已知点(x,y)求L时,x,y变成了常数,又斜率k为-b/a

那么答案可以表示为[Bzoj4570][Scoi2016]妖怪(右上凸包)-LMLPHP

发现是个双钩函数,在k = -(x/y)^½时取最小。

因为是双钩函数不满足单调,我就去三分了,然后华丽丽T了。

其实我们可以判断一下双钩函数顶点是否在合法范围内,是的话取最小值

不是的话肯定是关于双钩函数的一边,则具有单调性。

那么此时我就想到二分了。。。然后完美地t了

正解:

合法范围ki-1和ki一定是双钩函数定义域的端点。每个点可以用ki算一次答案,如果顶点在定义域内还可以算一次答案

AC代码:


# include <iostream>
# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <cmath>
# include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e6 + ;
const double eps = 1e-;
const double inf = 0x3f3f3f3f;
struct Point{
double x,y;
Point(){}
Point(double a,double b) : x(a),y(b){}
void read(){scanf("%lf %lf",&x,&y);}
double com(){return x + y + * sqrt(x * y);}
bool operator <(const Point & other)const{return x == other.x ? y > other.y : x > other.x;}
}a[N];
int n,ed;double k[N],ans = inf;
Point operator -(Point a,Point b){return Point(a.x - b.x,a.y - b.y);}
double Get(Point a){return a.y / a.x;}
double Cross(Point a,Point b){return a.x * b.y - a.y * b.x;}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i = ;i <= n;i++)a[i].read();
sort(a + ,a + n + );int top = ;
for(int i = ;i <= n;i++)
{
while(top > && Cross(a[i] - a[top],a[top] - a[top - ]) >= )top--;
a[++top] = a[i];
}
a[top + ] = Point(,);
for(int i = ;i <= top;i++)
{
k[i] = Get(a[i + ] - a[i]);
ed = i;if(k[i] >= )break;
}
k[ed] = -eps;k[] = -inf;
for(int i = ;i <= ed;i++)
{
double mk = -sqrt(a[i].y / a[i].x),cg = inf,he;
if(mk > k[i - ] && mk < k[i])cg = a[i].com();
he = a[i].x + a[i].y - a[i].x * k[i] - a[i].y / k[i];
cg = cg > he ?
he : cg;ans = ans > cg ? cg : ans;
}
printf("%.4lf\n",ans);
}
 
05-13 15:59