POJ 2409 Let it Bead
这题就是polya公式的直接套用，唯一麻烦的是置换群的种类数，由于可以翻转，所以除了要加上pow(c,gcd(s,i))这些平面旋转的置换群，还要加上翻转的。由于翻转的情况奇偶是不同的，所以需要分开讨论：偶数：pow(c,(s-2)/2+2)*(s/2)+pow(c,(s/2))*(s/2);（里面包含了两个对点和两个对边的旋转） 奇数：pow(c,(s-1)/2+1)*s;（一个点和对边的旋转）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
char c;
do
{
c=getchar();
}
while(c<'0'||c>'9');
ret=c-'0';
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
{
ret=ret*10+(c-'0');
}
}
inline void OT(int a)
{
if(a>=10)
{
OT(a/10);
}
putchar(a%10+'0');
}
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
{
return a;
}
else
{
return gcd(b,a%b);
}
}
int pow(int x,int y)
{
int i,j=1;
for(i=0;i<y;++i)
{
j*=x;
}
return j;
}
int main()
{
int c,s,i,j,ans,sum;
while(1)
{
RD(c);
RD(s);
if(c==0&&s==0)
{
break;
}
sum=0;
for(i=1;i<=s;++i)
{
sum+=pow(c,gcd(i,s));//通用做法，而且数据量很小。
}
if(s%2==0)//注意题意，这题的图案是可以翻转的，但并不是所有题目都这样，注意观察
{
sum+=pow(c,(s-2)/2+2)*(s/2)+pow(c,(s/2))*(s/2);
}
else
{
sum+=pow(c,(s-1)/2+1)*s;
}
ans=sum/(2*s);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
POJ 1286 Necklace of Beads
典型的买一送一题，和上题一样，都是套用公式题目，这题和上题相比，还少了可以翻转的条件，而且颜色数量固定为3，所以就不过多赘述了。但要注意N=0时要特判一下，输出0。而且数据范围比之前那题大，要使用long long。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
char c;
do
{
c=getchar();
}
while(c<'0'||c>'9');
ret=c-'0';
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
{
ret=ret*10+(c-'0');
}
}
inline void OT(int a)
{
if(a>=10)
{
OT(a/10);
}
putchar(a%10+'0');
}
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
{
return a;
}
else
{
return gcd(b,a%b);
}
}
long long pow(int x,int y)//注意数据范围，3的18次方就超了
{
int i;
long long j=1;
for(i=0; i<y; ++i)
{
j*=x;
}
return j;
}
int main()
{
int s,i;
long long ans,sum;
while(1)
{
scanf("%d",&s);
if(s==-1)
{
break;
}
if(s==0)
{
printf("0\n");
}
else
{
sum=0;
for(i=1; i<=s; ++i)
{
sum+=pow(3,gcd(i,s));
}
if(s%2==0)
{
sum+=pow(3,(s-2)/2+2)*(s/2)+pow(3,(s/2))*(s/2);
}
else
{
sum+=pow(3,(s-1)/2+1)*s;
}
ans=sum/(2*s);
printf("%lld\n",ans);
}
}
return 0;
}
POJ 2154 Color
这题就不是简单的套用公式就可以过了，由于数据量很大，所以我们就需要使用筛素数结合欧拉函数求解的方式优化复杂度。而且数据范围的原因，很多人为了图省事，确保不会吵范围就用long long定义了事，却发现TLE，所以在写这题是必须还是要使用int定义，而且需要在很多地方取模。注意：快速幂部分取模一定要频繁，每个数在进行运算之前都需要取模。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
char c;
do
{
c=getchar();
}
while(c<'0'||c>'9');
ret=c-'0';
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
{
ret=ret*10+(c-'0');
}
}
inline void OT(int a)
{
if(a>=10)
{
OT(a/10);
}
putchar(a%10+'0');
}
int N;
int p(int x,int y)//取模一定要反复，我就是因为这个WA的
{
int res=1;
while(y>0)
{
if(y%2==1)
{
res=(res%N)*(x%N)%N;
}
x=(x%N)*(x%N)%N;
y/=2;
}
return res%N;
}
int e(int n)
{
int ans=1,i;
for(i=2; i*i<=n; i++)
{
if(n%i==0)
{
ans*=i-1;
n/=i;
while(n%i==0)
{
ans*=i;
n/=i;
}
}
}
if(n>1)
{
ans*=n-1;
}
return ans;
}
int main()
{
int i,t,s;
__int64 sum;
RD(t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&s,&N);
sum=0;
for(i=1; i*i<=s; ++i)
{
if(s%i==0)
{
sum=(sum+e(s/i)%N*p(s,i-1))%N;//这是求polya计数的通用优化方式
if(i*i!=s)
{
sum=(sum+e(i)%N*p(s,s/i-1))%N;//也要注意取模方式
}
}
}
printf("%I64d\n",sum%N);
}
return 0;
}
POJ 2888 Magic Bracelet
超好的组合题，这题是burnside的范围，因为burnside求有限制条件的组合数是很有效果的。这题用到了很多知识burnside+矩阵乘+矩阵快速幂+快速幂取模+欧拉函数+筛素数法+离散数学的知识。运用离散数学的知识将珠子的组合关系建图，转化为矩阵就是1为a和b可联通，0为a和b不可相联。而此矩阵的k次方就代表了经过k条路到达的方案数。
然后再结合欧拉函数优化就可以得到答案了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<set>
#include<vector>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(a,b,i) for(i=a;i<=b;++i)
#define For(a,b,i) for(i=a;i<b;++i)
#define N 9973
using namespace std;
inline void RD(int &ret)
{
char c;
do
{
c=getchar();
}
while(c<'0'||c>'9');
ret=c-'0';
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
{
ret=ret*10+(c-'0');
}
}
inline void OT(int a)
{
if(a>=10)
{
OT(a/10);
}
putchar(a%10+'0');
}
int s,m,k,tx[11][11],ty[11][11],tz[11][11];
int p(int x,int y)//快速幂取模
{
int res=1;
x=x%N;
while(y>0)
{
if(y%2==1)
{
res=(res*x)%N;
}
x=(x*x)%N;
y/=2;
}
return res%N;
}
int e(int n)//欧拉函数优化
{
int ans=1,i;
for(i=2; i*i<=n; i++)
{
if(n%i==0)
{
ans*=i-1;
n/=i;
while(n%i==0)
{
ans*=i;
n/=i;
}
}
}
if(n>1)
{
ans*=n-1;
}
return ans%N;//注意取模，不然会超
}
void mat(int a[11][11],int b[11][11])//矩阵乘
{
int d[11][11],i,j,l;
mem(d,0);
For(0,m,i)
{
For(0,m,j)
{
For(0,m,l)
{
d[i][j]=(d[i][j]+a[i][l]*b[l][j])%N;
}
}
}
For(0,m,i)
{
For(0,m,j)
{
a[i][j]=d[i][j];
}
}
}
int g(int x)
{
mem(ty,0);
int i,j,ans;
For(0,m,i)
{
For(0,m,j)
{
tz[i][j]=tx[i][j];
}
}
For(0,m,i)
{
ty[i][i]=1;
}
while(x>0)//矩阵快速幂
{
if(x%2==1)
{
mat(ty,tz);
}
mat(tz,tz);
x/=2;
}
ans=0;
For(0,m,i)
{
ans=(ans+ty[i][i])%N;
}
return ans;
}
int main()
{
int i,j,t,a,b;
int sum;
RD(t);
while(t--)
{
RD(s);
RD(m);
RD(k);
For(0,m,i)
{
For(0,m,j)
{
tx[i][j]=1;
}
}
For(0,k,i)
{
RD(a);
RD(b);
a--;
b--;
tx[a][b]=tx[b][a]=0;//建图
}
sum=0;
for(i=1; i*i<=s; ++i)
{
if(s%i==0)//其他过程与上题类似
{
sum=(sum+(e(s/i)*g(i))%N)%N;
if(i*i!=s)
{
sum=(sum+(e(i)%N*g(s/i))%N)%N;
}
}
}
printf("%d\n",(sum*(p(s,N-2)%N))%N);
}
return 0;
}
burnside&&polya还有很多神奇的应用，希望可以与大家多多交流经验~