堆和堆的应用：堆排序和优先队列
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堆和堆的应用：堆排序和优先队列
1.堆
堆(Heap))是一种重要的数据结构，是实现优先队列(Priority Queues)首选的数据结构。由于堆有很多种变体，包括二项式堆、斐波那契堆等，但是这里只考虑最常见的就是二叉堆（以下简称堆）。
堆是一棵满足一定性质的二叉树，具体的讲堆具有如下性质：父节点的键值总是不大于它的孩子节点的键值（小顶堆）, 堆可以分为小顶堆和大顶堆，这里以小顶堆为例，其主要包含的操作有：
insert()
extractMin
peek(findMin)
delete(i)
由于堆是一棵形态规则的二叉树，因此堆的父节点和孩子节点存在如下关系：
由于二叉树良好的形态已经包含了父节点和孩子节点的关系信息，因此就可以不使用链表而简单的使用数组来存储堆。
要实现堆的基本操作，涉及到的两个关键的函数
siftUp(i, x)： 将位置i的元素x向上调整，以满足堆得性质，常常是用于insert后，用于调整堆；siftDown(i, x)：同理，常常是用于delete(i)后，用于调整堆；
具体的操作如下：
可以看到siftUp和siftDown不停的在父节点和子节点之间比较、交换；在不超过logn的时间复杂度就可以完成一次操作。
有了这两个基本的函数，就可以实现上述提及的堆的基本操作。
首先是如何建堆，实现建堆操作有两个思路:
一个是不断地
insert（insert后调用的是siftUp）另一个将原始数组当成一个需要调整的堆，然后自底向上地
在每个位置i调用siftDown(i)，完成后我们就可以得到一个满足堆性质的堆。这里考虑后一种思路：
通常堆的insert操作是将元素插入到堆尾，由于新元素的插入可能违反堆的性质，因此需要调用siftUp操作自底向上调整堆；堆移除堆顶元素操作是将堆顶元素删除，然后将堆最后一个元素放置在堆顶，接着执行siftDown操作，同理替换堆顶元素也是相同的操作。
建堆
那么建堆操作的时间复杂度是多少呢？答案是O(n)。虽然siftDown的操作时间是logn，但是由于高度在递减的同时，每一层的节点数量也在成倍减少，最后通过数列错位相减可以得到时间复杂度是O(n)。
extractMin
由于堆的固有性质，堆的根便是最小的元素，因此peek操作就是返回根nums[0]元素即可；
若要将nums[0]删除，可以将末尾的元素nums[n-1]覆盖nums[0],然后将堆得size = size-1，调用siftDown(0)调整堆。时间复杂度为logn。
peek
同上
delete(i)
删除堆中位置为i的节点，涉及到两个函数siftUp和siftDown，时间复杂度为logn,具体步骤是，
将元素
last覆盖元素i，然后siftDown检查是否需要
siftUp
注意到堆的删除操作，如果是删除堆的根节点，则不用考虑执行siftUp的操作；若删除的是堆的非根节点，则要视情况决定是siftDown还是siftUp操作，两个操作是互斥的。
case 1 :
删除中间节点i21，将最后一个节点复制过来；
由于没有进行siftDown操作，节点i的值仍然为6，因此为确保堆的性质，执行siftUp操作；
case 2
删除中间节点i，将值为11的节点复制过来，执行siftDown操作；
由于执行siftDown操作后，节点i的值不再是11，因此就不用再执行siftUp操作了，因为堆的性质在siftDown操作生效后已经得到了保持。
可以看出，堆的基本操作都依赖于两个核心的函数siftUp和siftDown；较为完整的Heap代码如下：
2.堆的应用：堆排序
运用堆的性质，我们可以得到一种常用的、稳定的、高效的排序算法————堆排序。堆排序的时间复杂度为O(n*log(n))，空间复杂度为O(1)，堆排序的思想是：
对于含有n个元素的无序数组nums, 构建一个堆(这里是小顶堆)heap，然后执行extractMin得到最小的元素，这样执行n次得到序列就是排序好的序列。
如果是降序排列则是小顶堆；否则利用大顶堆。
Trick
由于extractMin执行完毕后，最后一个元素last已经被移动到了root，因此可以将extractMin返回的元素放置于最后，这样可以得到sort in place的堆排序算法。
具体操作如下：
当然，如果不使用前面定义的heap，则可以手动写堆排序，由于堆排序设计到建堆和extractMin， 两个操作都公共依赖于siftDown函数，因此我们只需要实现siftDown即可。(trick:由于建堆操作可以采用siftUp或者siftDown，而extractMin是需要siftDown操作，因此取公共部分，则采用siftDown建堆)。
这里便于和前面统一，采用小顶堆数组进行降序排列。
3.堆的应用：优先队列
优先队列是一种抽象的数据类型，它和堆的关系类似于，List和数组、链表的关系一样；我们常常使用堆来实现优先队列，因此很多时候堆和优先队列都很相似，它们只是概念上的区分。
优先队列的应用场景十分的广泛：
常见的应用有：
Dijkstra’s algorithm（单源最短路问题中需要在邻接表中找到某一点的最短邻接边，这可以将复杂度降低。）
Huffman coding（贪心算法的一个典型例子，采用优先队列构建最优的前缀编码树(
prefixEncodeTree)）Prim’s algorithm for minimum spanning tree
Best-first search algorithms
这里简单介绍上述应用之一：Huffman coding。
Huffman编码是一种变长的编码方案，对于每一个字符，所对应的二进制位串的长度是不一致的，但是遵守如下原则：
出现频率高的字符的二进制位串的长度小
不存在一个字符
c的二进制位串s是除c外任意字符的二进制位串的前缀
遵守这样原则的Huffman编码属于变长编码，可以无损的压缩数据，压缩后通常可以节省20%-90%的空间，具体压缩率依赖于数据的固有结构。
Huffman编码的实现就是要找到满足这两种原则的 字符-二进制位串 对照关系，即找到最优前缀码的编码方案（前缀码：没有任何字符编码后的二进制位串是其他字符编码后位串的前缀）。
这里我们需要用到二叉树来表达最优前缀码，该树称为最优前缀码树
一棵最优前缀码树看起来像这样：
算法思想：用一个属性为freqeunce关键字的最小优先队列Q,将当前最小的两个元素x,y合并得到一个新元素z（z.frequence = x.freqeunce + y.frequence）,
然后插入到优先队列中Q中，这样执行n-1次合并后，得到一棵最优前缀码树（这里不讨论算法的证明）。
一个常见的构建流程如下：
树中指向某个节点左孩子的边上表示位0,指向右孩子的边上的表示位1，这样遍历一棵最优前缀码树就可以得到对照表。
输出如下：
4 堆的应用：海量实数中（一亿级别以上）找到TopK（一万级别以下）的数集合。
A:通常遇到找一个集合中的TopK问题，想到的便是排序，因为常见的排序算法例如快排算是比较快了，然后再取出K个TopK数，时间复杂度为
O(nlogn)，当n很大的时候这个时间复杂度还是很大的；B:另一种思路就是打擂台的方式,每个元素与K个待选元素比较一次，时间复杂度很高：
O(k*n)，此方案明显逊色于前者。
对于一亿数据来说，A方案大约是26.575424*n；
C:由于我们只需要TopK，因此不需要对所有数据进行排序，可以利用堆得思想，维护一个大小为K的小顶堆，然后依次遍历每个元素
e, 若元素e大于堆顶元素root，则删除root，将e放在堆顶，然后调整，时间复杂度为logK；若小于或等于，则考察下一个元素。这样遍历一遍后，最小堆里面保留的数就是我们要找的topK，整体时间复杂度为O(k+n*logk)约等于O(n*logk)，大约是13.287712*n（由于k与n数量级差太多），这样时间复杂度下降了约一半。
A、B、C三个方案中，C通常是优于B的，因为logK通常是小于k的，当K和n的数量级相差越大，这种方式越有效。
以下为具体操作：
ps:大致测试了一下，10亿个数中找到top5需要140秒左右，应该是很快了。
5 总结
堆是基于树的满足一定约束的重要数据结构，存在许多变体例如二叉堆、二项式堆、斐波那契堆（很高效）等。
堆的几个基本操作都依赖于两个重要的函数
siftUp和siftDown，堆的insert通常是在堆尾插入新元素并siftUp调整堆，而extractMin是在
删除堆顶元素，然后将最后一个元素放置堆顶并调用siftDown调整堆。二叉堆是常用的一种堆，其是一棵二叉树；由于二叉树良好的性质，因此常常采用数组来存储堆。
堆得基本操作的时间复杂度如下表所示：
O(n) | O(logn) | O(1) | O(logn) | O(logn) |
二叉堆通常被用来实现堆排序算法，堆排序可以
sort in place，堆排序的时间复杂度的上界是O(nlogn)，是一种很优秀的排序算法。由于存在相同键值的两个元素处于两棵子树中，而两个元素的顺序可能会在后续的堆调整中发生改变，因此堆排序不是稳定的。降序排序需要建立小顶堆，升序排序需要建立大顶堆。堆是实现抽象数据类型优先队列的一种方式，优先队列有很广泛的应用，例如Huffman编码中使用优先队列利用贪心算法构建最优前缀编码树。
堆的另一个应用就是在海量数据中找到TopK个数，思想是维护一个大小为K的二叉堆，然后不断地比较堆顶元素，判断是否需要执行替换对顶元素的操作，采用
此方法的时间复杂度为n*logk，当k和n的数量级差距很大的时候，这种方式是很有效的方法。
6 references
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Heap_(data_structure))
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Priority_queue
[4] https://www.cnblogs.com/swiftma/p/6006395.html
[5] Thomas H.Cormen, Charles E.Leiserson, Ronald L.Rivest, Clifford Stein.算法导论[M].北京:机械工业出版社,2015:245-249
[6] Jon Bentley.编程珠玑[M].北京:人民邮电出版社,2015:161-174