【BZOJ4825】[Hnoi2017]单旋
Description
H 国是一个热爱写代码的国家，那里的人们很小去学校学习写各种各样的数据结构。伸展树（splay）是一种数据结构，因为代码好写，功能多，效率高，掌握这种数据结构成为了 H 国的必修技能。有一天，邪恶的“卡”带着他的邪恶的“常数”来企图毁灭 H 国。“卡”给 H 国的人洗脑说，splay 如果写成单旋的，将会更快。“卡”称“单旋 splay”为“spaly”。虽说他说的很没道理，但还是有 H 国的人相信了，小 H 就是其中之一，spaly 马上成为他的信仰。 而 H 国的国王，自然不允许这样的风气蔓延，国王构造了一组数据，数据由 m 个操作构成，他知道这样的数据肯定打垮 spaly，但是国王还有很多很多其他的事情要做，所以统计每个操作所需要的实际代价的任务就交给你啦。
数据中的操作分为五种：
1. 插入操作：向当前非空 spaly 中插入一个关键码为 key 的新孤立节点。插入方法为，先让 key 和根比较，如果 key 比根小，则往左子树走，否则往右子树走，如此反复，直到某个时刻，key 比当前子树根 x 小，而 x 的左子树为空，那就让 key 成为 x 的左孩子； 或者 key 比当前子树根 x 大，而 x 的右子树为空，那就让 key 成为 x 的右孩子。该操作的代价为：插入后，key 的深度。特别地，若树为空，则直接让新节点成为一个单个节点的树。（各节点关键码互不相等。对于“深度”的解释见末尾对 spaly 的描述）。
2. 单旋最小值：将 spaly 中关键码最小的元素 xmin 单旋到根。操作代价为：单旋前 xmin 的深度。（对于单旋操作的解释见末尾对 spaly 的描述）。
3. 单旋最大值：将 spaly 中关键码最大的元素 xmax 单旋到根。操作代价为：单旋前 xmax 的深度。
4. 单旋删除最小值：先执行 2 号操作,然后把根删除。由于 2 号操作之后,根没有左子树,所以直接切断根和右子树的联系即可（具体见样例解释）。 操作代价同 2 号操 作。
5. 单旋删除最大值：先执行 3 号操作,然后把根删除。 操作代价同 3 号操作。
对于不是 H 国的人，你可能需要了解一些 spaly 的知识，才能完成国王的任务：
a. spaly 是一棵二叉树，满足对于任意一个节点 x，它如果有左孩子 lx，那么 lx 的关键码小于 x 的关键码。如果有右孩子 rx，那么 rx 的关键码大于 x 的关键码。
b. 一个节点在 spaly 的深度定义为：从根节点到该节点的路径上一共有多少个节点（包括自己）。
c. 单旋操作是对于一棵树上的节点 x 来说的。一开始,设 f 为 x 在树上的父亲。如果 x 为 f 的左孩子，那么执行 zig(x) 操作（如上图中，左边的树经过 zig(x) 变为了右边的树），否则执行 zag(x) 操作（在上图中，将右边的树经过 zag(f) 就变成了左边的树）。每当执 行一次 zig(x) 或者 zag(x)，x 的深度减小 1，如此反复，直到 x 为根。总之，单旋 x 就是通过反复执行 zig 和 zag 将 x 变为根。
Input
第一行单独一个正整数 m。
接下来 m 行，每行描述一个操作：首先是一个操作编号 c∈[1,5]，即问题描述中给出的五种操作中的编号，若 c = 1，则再输入一个非负整数 key，表示新插入节点的关键码。1≤m≤10^5,1≤key≤10^9所有出现的关键码互不相同。任何一个非插入操作，一定保证树非空。在未执行任何操作之前，树为空
Output
输出共 m 行，每行一个整数，第 i 行对应第 i 个输入的操作的代价。
Sample Input
5
1 2
1 1
1 3
4
5
1 2
1 1
1 3
4
5
Sample Output
1
2
2
2
2
2
2
2
2
题解：容易发现，只有单旋，只旋转最大（小）值的spaly满足以下性质：
插入：直接找到x的前驱和后继，要么令x为前驱的右儿子，要么令x为后继的左儿子，判断一下即可
旋转：以旋转最小值为例，发现除了它本身的深度变成0，它右儿子的深度不变以外，其他所有的点的深度都+1。旋转后，x的右儿子变成fa[x]的左儿子，原来的根变成x的右儿子，其余的父子关系均不发生改变。
删除：旋转后直接令所有的点深度-1即可。
其次，因为spaly的中序遍历为升序，所以x的右儿子是一段连续的区间。
因此为了实现以上操作，我们只需要维护前驱后继，区间修改，单点查询，删点加点即可。其实直接用splay来维护比较好，但我比较懒，用的权值线段树维护区间，用的set维护前驱后继。
注意：当x是根的时候就尽量不要转了，否则太麻烦。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <set>
#include <algorithm>
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
using namespace std;
const int maxn=100010;
struct node
{
int v,org;
}num[maxn];
int n,m,root;
int pa[maxn],pb[maxn];
int siz[maxn<<2],ch[maxn][2],fa[maxn],sum[maxn<<2],tag[maxn<<2];
int pre,dpre,suf,dsuf;
set<int> s;
bool cmp(node a,node b)
{
return a.v<b.v;
}
int rd()
{
int ret=0,f=1; char gc=getchar();
while(gc<'0'||gc>'9') {if(gc=='-')f=-f; gc=getchar();}
while(gc>='0'&&gc<='9') ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();
return ret*f;
}
void pushdown(int x)
{
if(tag[x])
{
sum[lson]+=siz[lson]*tag[x],sum[rson]+=siz[rson]*tag[x],tag[lson]+=tag[x],tag[rson]+=tag[x];
tag[x]=0;
}
}
void pushup(int x)
{
siz[x]=siz[lson]+siz[rson];
sum[x]=sum[lson]+sum[rson];
}
void ins(int l,int r,int x,int pos,int v)
{
if(l==r)
{
sum[x]=v,siz[x]=(!v)?0:1;
return ;
}
pushdown(x);
int mid=l+r>>1;
if(pos<=mid) ins(l,mid,lson,pos,v);
else ins(mid+1,r,rson,pos,v);
pushup(x);
}
void updata(int l,int r,int x,int a,int b,int v)
{
if(a<=l&&r<=b)
{
sum[x]+=siz[x]*v,tag[x]+=v;
return ;
}
pushdown(x);
int mid=l+r>>1;
if(a<=mid) updata(l,mid,lson,a,b,v);
if(b>mid) updata(mid+1,r,rson,a,b,v);
pushup(x);
}
int query(int pos)
{
int l=1,r=n,mid,x=1;
while(l<r)
{
mid=l+r>>1,pushdown(x);
if(pos<=mid) x=lson,r=mid;
else x=rson,l=mid+1;
}
return sum[x];
}
int main()
{
m=rd();
int i,a,b,c;
set<int>::iterator it;
for(i=1;i<=m;i++)
{
pa[i]=rd();
if(pa[i]==1) num[++n].v=rd(),num[n].org=i;
}
sort(num+1,num+n+1,cmp);
for(i=1;i<=n;i++) pb[num[i].org]=i;
for(i=1;i<=m;i++)
{
switch(pa[i])
{
case 1:
{
it=s.upper_bound(pb[i]),b=(it==s.end())?0:(*it),a=(it==s.begin())?0:(*(--it));
s.insert(pb[i]);
if(!a&&!b){printf("1\n"),ins(1,n,1,pb[i],1),root=pb[i]; break;}
if(a&&!ch[a][1]) c=query(a)+1,printf("%d\n",c),fa[pb[i]]=a,ch[a][1]=pb[i];
else c=query(b)+1,printf("%d\n",c),fa[pb[i]]=b,ch[b][0]=pb[i];
ins(1,n,1,pb[i],c);
break;
}
case 2:
{
it=s.begin(),a=*it;
printf("%d\n",query(a));
if(a==root) break;
updata(1,n,1,fa[a],n,1),ch[fa[a]][0]=ch[a][1];
if(ch[a][1]) fa[ch[a][1]]=fa[a];
fa[a]=0,fa[root]=a,ch[a][1]=root,root=a,ins(1,n,1,a,1);
break;
}
case 3:
{
it=s.end(),a=*(--it);
printf("%d\n",query(a));
if(a==root) break;
updata(1,n,1,1,fa[a],1),ch[fa[a]][1]=ch[a][0];
if(ch[a][0]) fa[ch[a][0]]=fa[a];
fa[a]=0,fa[root]=a,ch[a][0]=root,root=a,ins(1,n,1,a,1);
break;
}
case 4:
{
it=s.begin(),a=*it,s.erase(it);
printf("%d\n",query(a));
if(fa[a]) ch[fa[a]][0]=ch[a][1];
else root=ch[a][1];
if(ch[a][1]) fa[ch[a][1]]=fa[a];
updata(1,n,1,a,(!fa[a])?n:(fa[a]-1),-1);
fa[a]=0,ins(1,n,1,a,0);
break;
}
case 5:
{
it=s.end(),a=*(--it),s.erase(it);
printf("%d\n",query(a));
if(fa[a]) ch[fa[a]][1]=ch[a][0];
else root=ch[a][0];
if(ch[a][0]) fa[ch[a][0]]=fa[a];
updata(1,n,1,(!fa[a])?1:(fa[a]+1),a,-1);
fa[a]=0,ins(1,n,1,a,0);
break;
}
}
}
return 0;
}