仙人掌&圆方树学习笔记
1、仙人掌
圆方树用来干啥？
——处理仙人掌的问题。
仙人掌是啥？
(图片来自于\(BZOJ1023\))
——也就是任意一条边只会出现在一个环里面。
当然，如果你的图片想看起来舒服一点，也可以把图片变成这样子
(图片来源于网络)
2、DFS树
为啥要写这个？--因为这个看起来也可以解决一些仙人掌的问题。
对于一个仙人掌，我们随便构建出一棵生成树。
然后我们就多了一些边——可以叫返祖边，非树边……你想叫啥就叫啥。
因为每条边只会出现在一个环中，
所以每一条返祖边覆盖了树中的一条链，这条链+这条边构成了环。
所以我们可以确定每条边都出现在了哪个环中。
这样子可以解决一点点仙人掌的问题。
比如仙人掌的最大独立集，\(dp\)的时候额外记录一下所在环的返祖边的端点的状态就好了。
3、圆方树是啥
先来定义一下什么是圆方树。
以下内容来自于课件：
听说你看完挺混乱？
我来翻译一下：
对于一个仙人掌，它的圆方树如下定义：
首先分为了两类点，一类是圆点，一类是方点。
圆点就是原仙人掌中所有的点，方点是我们新添加进去的点。
而圆方树的连边规则是这样的：
如果一条边在仙人掌中不属于任何一个环中，那么它直接圆方树中的两个圆点。
对于仙人掌中的任意一个环，则每个环上的点在圆方树上对应的圆点向这个环对应的方点连边。
如何证明圆方树是一棵树？
（以下内容来自于课件）
证明分为了两步：
首先证明它是联通的。
然后就证明了点数=边数+1
这样就是一棵树了。
然后让我把课件上的一张图片给蒯过来
好的，圆方树就长成这个样子啦。
4、如何构建圆方树
我想，看了上面的东西，知道了圆方树是啥，我们很容易就知道怎么构建圆方树了吧。
首先\(Tarjan\)缩点，把每个大小超过\(1\)的环里面的所有点都向一个新点（方点）连边。
然后把多出来的链接两个圆点的边直接给连上就好了。
似乎真的很简单？
5、圆方树的性质
证明：
方点只会和属于一个强连通分量的点相连，显然不会和方点相连。
证明：
对于一个环，我们显然对应的是一个方点，无论以哪个点为根，
这个环是不会变的，除了方点的编号不一样之外就没有任何不同了。
所以圆方树是无根树。
证明：
如果\(p\)不在环上，显然成立。
否则，此时去除所有到达根节点的所有简单路径后，
剩下的只有和\(p\)相连的，并且不和\(p\)在一个环内的点
显然是圆方树上\(p\)子树中的圆点（和它在一个环内的圆点都不和它直接相连了）
6、如何解决仙人掌上的一些简单的问题
a.求仙人掌的最大独立集(BZOJ4316)
这道题目显然有直接用\(dfs\)树的\(dp\)求法，见这里。
但是我们是在学习仙人掌，所以当然要用仙人掌的方法来求解啊。
其实这里圆方树没有必要出来，没有必要区分圆点和方点。
我们也是直接做\(dp\)，但是与\(dfs\)树不同的是，
我们直接在\(Tarjan\)过程中做\(dp\)(似乎本质也是\(dfs\)树？)
碰到圆圆边(圆点和圆点直接的边)就是普通的树型\(dp\)进行转移
如果是一个环上的边的话，那么我们先暂时不进行操作。
当回到这个环的最上方的时候，对于这个环就行一次单独的\(dp\)
将答案累加给环的顶端，这样向上转移又和树一样了
b.求仙人掌直径(BZOJ1023)
和普通的树求直径用一样的\(dp\)就可以了。
对于一个环，拉出来特殊考虑，用一个单调队列维护一下。
具体的实现方法戳这里
c.仙人掌两点间的最短路(BZOJ2125)
构建出圆方树(圆方树：终于需要用到我了)，直接把圆方树树链剖分(主要是用来求\(LCA\))
圆圆边和原仙人掌是同构的，圆方边的权值定义如下：
我们知道方点的父亲一定是圆点(转换为有根树之后)，
这样子把每条圆方边的权值赋为到达方点父亲的最短路径就好啦。
更加详细的题解和代码戳这里。
这一部分的小节
前两个问题似乎用不到圆方树，只需要普通的\(dp\)即可解决。实现的方法和普通的树型\(dp\)是类似的，但是也有几点区别：首先不是普通的\(dfs\)，而是\(Tarjan\)算法的实现过程中，顺带解决\(dp\)问题。另外一个是仙人掌上的问题需要额外处理环的问题，每次找到环之后需要特殊处理。所以，解决这类问题也就是两步：首先想好怎么在树上解决（圆圆边如何解决），然后想好怎么处理环的答案。
第三个问题就需要用到圆方树啦，然而本质仍然是处理环和普通的树边之间的关系，只需要把这层关系想清楚，这一类问题应该还是比较好解决的。
7、广义圆方树
前面的圆方树只能解决仙人掌的问题。
那么，对于一个一般的无向图，我们显然也是可以利用圆方树来解决的(要不然我写什么广义圆方树啊?)
我们在仙人掌中是对于每个点双构建一个方点，在一般图中我们也这么做。
然后方点向所有点双中的点连边，差不多和仙人掌上的圆方树是一样的啦。
当然，和仙人掌上的圆方树是有区别的啦，仙人掌上的圆方树是圆圆点之间是可能有边的。
那么，广义圆方树呢？
先蒯张图过来(来自\(ppl\)的\(blog\))
发现了啥？
圆点和方点是相间的，怎么搞？——强制把两个点也看成一个点双就好了
先找到题目来吧
带修改，求无向图中两点之间所有简单路径上的最小权值(CF487E)
首先我们不考虑修改，再来想想这道题目。
我们既然要求的是最小值，那么，在经过一个点双的时候，走的一定是具有较小权值的那一侧。
所以说，我们可以让所有的方点表示它所在的点双的最小权值，
这样子只需要对于圆方树树链剖分之后维护链的最小值就行了。
好的，回归带修改，无非是要动态的维护一下方点的最小权值了。
你问我怎么动态维护若干个值的最小值？搞个\(multiset\)不就好了吗？
但是，现在问题又来了，如果每次修改一个点的权值(这个点当然是圆点啦)，
那么，必定会修改所有和它相邻的方点，如果是一个菊花树，然后我们拼命修改根节点，这样子复杂度就起飞了。
现在让我们打开脑洞，大力思考一下怎么办？
我们强行让方点的权值不包括它的父亲(也就是只算它的儿子)
如果求解的时候\(LCA\)是方点，则额外计算一下方点父亲的权值
这样子每个圆点在修改的之后只需要向上修改给父亲方点啦！
于是，我们得到了\(Tarjan\)+圆方树+树链剖分+线段树+\(multiset\)的\(O(nlog^2n)\)的做法啦
(为什么要手写可删堆啊?\(multiset\)不好吗？)
8、完结撒花
呼，终于写完啦。
最后再来总的说一说仙人掌和圆方树。
对于仙人掌，我们对应的圆方树唯一。
无论是广义圆方树还是普通的圆方树，和普通的树相比，唯一的区别就是要额外考虑方点的贡献。
总的来说，就是码农+思维题啦，只要想清楚方点的处理，一切都很好办了。