吉首大学校赛 I 滑稽树上滑稽果 （Lucas + 莫队）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/925/I
来源：牛客网

题目描述

n个不同的滑稽果中，每个滑稽果可取可不取，从所有方案数中选取一种，求选取的方案中滑稽果个数不超过m的概率。(对10+7取模)

输入描述:

第一行一个正整数T( T <= 10^5 )

随后T行每行两个整数n,m ( 0 < m <= n <= 10^5 )

输出描述:

T行，每行一个整数表示答案。

示例1

输入

2

5 2

5 1

输出

500000004

687500005

题意：要你求取的数量不超过m的数量的概率
思路：首先因为组合数太大，我们就只能用Lucas 来求
其次这个数据范围太大，我们肯定不能直接暴力求出组合数
这里我们把 s(m,n) 设为  从n个中选取至多m个物品的方案数,我们可以得出  s(m,n) =  s(m-1,n) + c(m,n) 
我们还可以用杨辉三角得出  s(m,n)= 2 * s(m,n-1)*2-c(m,n-1)
s(4,8) = c(0,8) + c(1,8) + c(2,8) + c(3,8) + c(4,8)
s(4,7) = c(0,7) + c(1,7) + c(2,7) + c(3,7) + c(4,7)
我们可以借由定理：c(m,n)+c(m+1,n) = c(m+1,n+1)
c(0,8)=c(0,7)
c(1,8)=c(0,7)+c(1,7)

c(2,8)=c(1,7)+c(2,7)

c(3,8)=c(2,7)+c(3,7)

c(4,8)=c(3,7)+c(4,7)

我们把m-n当成一个线段，我们就可以让s(m,n) ->   s(m+1,n),s(m-1,n),s(m,n+1),s(m,n-1);

我们可以进行O(1)转移，这里我们就好办了，我们用莫队离线排序查询然后进行转移

#include<bits/stdc++.h>

#define INF 0x3f3f3f3f

#define IO ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)

#define P 1000000007

#define mod 1000000007

#define N 100010

#define LL long long

using namespace std;

typedef long long ll;

struct query{int l,r,block,id;} Q[N];

LL w[N],inv[N],ans[N];

bool cmp(query a,query b)

{

    if (a.block!=b.block) return a.l<b.l;

    if (a.block&) return a.r<b.r; return a.r>b.r;

}

LL C(int r,int l)

{

    if (r<l) return ;

    return w[r]*inv[l]%P*inv[r-l]%P;

}

ll quick_pow(ll a,ll b){

    ll ans=;

    while(b){

        if(b&) ans=(ans*a)%mod;

        a=(a*a)%mod;

        b=b/;

    }

    return ans;

}

int main()

{

    w[]=;w[]=;inv[]=; inv[]=;

    for (int i=;i<N;i++)

    {

        w[i]=w[i-]*i%P;

        inv[i]=inv[P%i]*(P-P/i)%P;

    }

    for (int i=;i<N;i++) inv[i]=inv[i-]*inv[i]% P;

    int block=sqrt();

    int n;

    cin>>n;

    for (int i=;i<=n;i++)

    {

        cin>>Q[i].r>>Q[i].l;

        Q[i].id=i;Q[i].block=Q[i].l/block;

    }

    int l=,r=;LL t=;

    sort(Q+,Q+n+,cmp);

    for (int i=;i<=n;i++)

    {

        while(l<Q[i].l)

        {

            t=(t+C(r,l+))%P;

            l++;

        }

        while (l>Q[i].l)

        {

            l--;

            t=(t-C(r,l+)+P)%P;

        }

        while (r<Q[i].r)

        {

            r++;

            t=(*t-C(r-,l)+P)%P;

        }

        while(r>Q[i].r)

        {

            t=(t+C(r-,l))*inv[]%P;

            r--;

        }

        ll sum=quick_pow((ll),Q[i].r);

        sum=quick_pow(sum,mod-);

        ans[Q[i].id]=(t*sum)%mod;

        //ans[Q[i].id]=sum;

    }

    for (int i=;i<=n;i++)cout<<ans[i]<<endl;

    return ;

}