题目描述
给出一棵树，初始每个点都是非必经的。多次改变某个点的必经状态，并询问从任意一个点出发，经过所有必经的点并回到该点的最小路程。
输入
第一行，两个整数N、M，其中M为宝物的变动次数。
接下来的N-1行，每行三个整数x、y、z，表示村庄x、y之间有一条长度为z的道路。
接下来的M行，每行一个整数t，表示一个宝物变动的操作。若该操作前村庄t内没有宝物，则操作后村庄内有宝物；若该操作前村庄t内有宝物，则操作后村庄内没有宝物。
输出
M行，每行一个整数，其中第i行的整数表示第i次操作之后玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。若只有一个村庄内有宝物，或者所有村庄内都没有宝物，则输出0。
样例输入
4 5
1 2 30
2 3 50
2 4 60
2
3
4
2
1
样例输出
0
100
220
220
280
题解
树链的并+STL-set
考虑指定某个点为根，如果从根节点出发的话，答案显然是所有必经点到根节点的树链的并的长度*2。
我们维护这个树链的并：把所有点按照dfs序排序，每个点到根的距离减去排序后相邻两点LCA到根的距离就是树链的并的长度。本题由于需要支持插入和删除，因此可以使用STL-set。
但是这并不是最优解。考虑重复经过了哪一段：所有相邻两点LCA中深度最小的到根节点的距离。也即按dfs序排序后第一个点和最后一个点的LCA到根节点的距离。因此再使用set统计一下答案即可。
时间复杂度 $O(n\log n)$
#include <set>
#include <cstdio>
#define N 100010
using namespace std;
typedef long long ll;
set<int> s;
int head[N] , to[N << 1] , len[N << 1] , next[N << 1] , cnt , fa[N][20] , deep[N] , log[N] , pos[N] , ref[N] , tot , vis[N];
ll dis[N];
inline void add(int x , int y , int z)
{
to[++cnt] = y , len[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
void dfs(int x)
{
int i;
pos[x] = ++tot , ref[tot] = x;
for(i = 1 ; (1 << i) <= deep[x] ; i ++ ) fa[x][i] = fa[fa[x][i - 1]][i - 1];
for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
if(to[i] != fa[x][0])
fa[to[i]][0] = x , deep[to[i]] = deep[x] + 1 , dis[to[i]] = dis[x] + len[i] , dfs(to[i]);
}
inline int lca(int x , int y)
{
int i;
if(deep[x] < deep[y]) swap(x , y);
for(i = log[deep[x] - deep[y]] ; ~i ; i -- )
if((1 << i) <= deep[x] - deep[y])
x = fa[x][i];
if(x == y) return x;
for(i = log[deep[x]] ; ~i ; i -- )
if((1 << i) <= deep[x] && fa[x][i] != fa[y][i])
x = fa[x][i] , y = fa[y][i];
return fa[x][0];
}
int main()
{
int n , m , i , x , y , z;
set<int>::iterator it;
ll now = 0;
scanf("%d%d" , &n , &m);
for(i = 2 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d%d%d" , &x , &y , &z) , add(x , y , z) , add(y , x , z) , log[i] = log[i >> 1] + 1;
dfs(1);
while(m -- )
{
scanf("%d" , &x) , y = z = 0;
if(!vis[x])
{
it = s.upper_bound(pos[x]);
if(it != s.end()) y = ref[*it];
if(it != s.begin()) z = ref[*--it];
if(y) now -= dis[lca(x , y)];
if(z) now -= dis[lca(x , z)];
if(y && z) now += dis[lca(y , z)];
now += dis[x] , vis[x] = 1 , s.insert(pos[x]);
}
else
{
now -= dis[x] , vis[x] = 0 , s.erase(pos[x]);
it = s.upper_bound(pos[x]);
if(it != s.end()) y = ref[*it];
if(it != s.begin()) z = ref[*--it];
if(y) now += dis[lca(x , y)];
if(z) now += dis[lca(x , z)];
if(y && z) now -= dis[lca(y , z)];
}
if(s.size() < 2) puts("0");
else printf("%lld\n" , (now - dis[lca(ref[*s.begin()] , ref[*--s.end()])]) << 1);
}
return 0;
}