1. 内容概要
- Multivariate Linear Regression(多元线性回归)
- 多元特征
- 多元变量的梯度下降
- 特征缩放
- Computing Parameters Analytically
- 正规公式（Normal Equation )
- 正规公式非可逆性（Normal Equation Noninvertibility）
2. 重点&难点
1）多元变量的梯度下降
2） 特征缩放
为什么要特征缩放
首先要清楚为什么使用特征缩放。见下面的例子
- 特征缩放前
由图可以知道特征缩放前，表示面积的x1变量的值远大于x2，因此J(θ)图像表示就是椭圆的，导致在梯度下降的过程中，收敛速度非常慢。
- 特征缩放后
对各变量特征缩放后绘制出来的损失函数J(θ)明显收敛更快，这也是为什么需要特征缩放的原因了。
实现方法
- feature scaling
\[
\begin{equation}
x_i := \frac{x_i}{x_\max - x_\min}
\end{equation}
\]
每个输入值除以(max - min)
- mean normalization
\[
\begin{equation}
x_i := \frac{x_i - μ_i}{s_i}
\end{equation}
\]
μ: 均值
s: max - min
3) Normal Equation 正规方程式
Normal Equation
\[
\begin{equation}
θ = （X^T·X）^{﹣1}·X·Y
\end{equation}
\]
与梯度下降方法进行比较
| 需要选择步长α | 不需要选择步长α |
| 需要迭代训练很多次 | 一次都不需要迭代训练 |
| O(kn) | O(n,计算(X·X)需要花费较长时间 |
| 即使数据特征n很大，也可以正常工作 | n如果过大，计算会消耗大量时间 |
4） 正规方程不可逆
当X·X不可逆时，很显然此时正规方程将不能正常计算，常见原因如下：
- 冗余特征，在两个特点紧密相关(即它们呈线性关系，例如面积和（长，宽)这两个特征线性相关）
- 太多的特征(例如：m≤n)。 在这种情况下，可以删除一些特征或使用"regularization"。
补充：
- A是可逆矩阵的充分必要条件是 |A|≠0