题目：Given a string containing just the characters '(' and ')', find the length of the longest valid (well-formed) parentheses substring.
For "(()", the longest valid parentheses substring is "()", which has length = 2.
Another example is ")()())", where the longest valid parentheses substring is "()()", which has length = 4.
拿到题目，哎呀，这不是典型的动态规划嘛，然后刷刷开始coding。这道题确实可以用动态规划，但是复杂度就上去了，事实证明也没法通过大集合的测试。不过还是可以当一个DP的练习。如果你比较忙，直接看解法二吧。
用longestValid[i][j]表示从S串中的字符i到j的最长well-formed表达式的长度；isValid[i][j]表示从i到j是否是一个valid的表达式。
如何判断longestValid[i][j]的取值呢？有下面几种情况：
假定有一个maxlength变量。
1. 如果i='(' 并且 j=')'，
a. 如果j = i+1,那这是一个valid的表达式；
b. 如果isValid[i+1][j-1]为真，那这也是一个valid表达式；
c. 对所有在i到j之间的k，如果isValid[i,k]&&isValid[k+1,j]为真，那么这是一个valid表达式，这三种情况maxlength都是i到j的距离；
d.其他情况，maxlength = longestValid[i][j-1]和 longestValid[i+1][j]比较大的那个。
2. 如果i='(' 并且 j='(', maxlength等于longestValid[i][j-1]。
3. 如果i=')' 并且 j=')', maxlength等于longestValid[i+1][j]。
4. 如果i=')‘ 并且 j='(', maxlength等于longestValid[i-1][j-1].
判断完成后，longestValid[i][j]赋值于maxlength。
下面是代码，是不是很复杂很想给博客君一巴掌。
解法一：
private static int longestValidParentheses(String s) {
// Start typing your Java solution below
// DO NOT write main() function
if(s.length() == 0) return 0;
boolean[][] isValid = new boolean[s.length()][];//isValid[i][j] is true when from i to j, this is a valid parentheses expression
int[][] longestValid = new int[s.length()][];//the longest length of valid expression between i and j
for(int i = 0; i < s.length();i++){
isValid[i] = new boolean[s.length()];
longestValid[i] = new int[s.length()];
}
for(int j = 1; j < s.length();j++){
for(int i = j - 1; i >=0;i--){
int left = s.charAt(i);
int right = s.charAt(j);
int maxLength = 0;
if(left == '(' && right ==')'){
if(i + 1 == j) {
isValid[i][j] = true;
if(maxLength < 2) maxLength = 2;
}else {
if(isValid[i+1][j-1]){
isValid[i][j] = true;
if(maxLength < j - i + 1) maxLength = j - i + 1;
}else if(isValid[i][i+1] && isValid[j-1][j] &&
(isValid[i + 2][j - 2] || j - i == 3)){
isValid[i][j]=true;
if(maxLength < j - i + 1) maxLength = j - i + 1;
}else {
maxLength = Math.max(longestValid[i][j-1], longestValid[i+1][j]);
for(int k = i + 1; k < j;k++){
if(isValid[i][k] && isValid[k + 1][j]) {
maxLength = j - i + 1;
isValid[i][j]=true;
break;
}
}
}
}
}else {
if(left == '(' && right == '('
&& longestValid[i][j-1] > maxLength) maxLength = longestValid[i][j-1];
if(left == ')' && right == ')'
&& longestValid[i+1][j] > maxLength)maxLength = longestValid[i+1][j];
if(left ==')' && right == '('
&& longestValid[i+1][j-1] > maxLength){
maxLength = longestValid[i+1][j-1];
}
}
longestValid[i][j] = maxLength;
}
}
return longestValid[0][s.length()-1];
}plus，这是O(n)的。。。。“该吃药了。。亲”。如期望的，该解法在大集合的时候超时。
解法二：来自leetcode讨论组的写法。本来人有O(n)的解法，被楼主活生生地卖弄成了O(n)。楼主真想挖个坑把自己埋了！！！
大家首先看，这个解法里面的stack，不是用来存左右括号的。人是来存左括号的index。本来么，右括号也不用存。遍历S。遇到'('，放入lefts。如果遇到')'，如果lefts是空，说明这是一个无法匹配的')'，记录下last。last里面存放的其实是最后一个无法匹配的')'。为啥要保存这个值呢？主要是为了计算后面完整的表达式的长度。可以这样理解： “所有无法匹配的')'”的index其实都是各个group的分界点。
public static int longestValidParentheses2(String s) {
int maxLen = 0, last = -1;
Stack<Integer> lefts = new Stack<Integer>();
for (int i=0; i<s.length(); ++i) {
if (s.charAt(i)=='(') {
lefts.push(i);
} else {
if (lefts.isEmpty()) {
// no matching left
last = i;
} else {
// find a matching pair
lefts.pop();
if (lefts.isEmpty()) {//有一个完整的valid的group。计算该group的长度
maxLen = Math.max(maxLen, i-last);
} else {
//栈内还有‘(',一个最外层完整的group还没有匹配完成，
//但是通过查询下一个即将匹配还未匹配的"("的index来更新maxLen。
maxLen = Math.max(maxLen, i-lefts.peek());
}
}
}
}
return maxLen;
}总结下：
DP不是万能的。注意发现问题的本质。不过这个确实要靠足够的练习。解法二的代码确实很简洁，但是并不是人人都能想到的。