机器怎样可以学得更好？

本系列是台湾大学资讯工程系林軒田（Hsuan-Tien Lin）教授开设的《机器学习基石》课程的梳理。重在梳理，而非详细的笔记，因此可能会略去一些细节。

该课程共16讲，分为4个部分：

1. 机器什么时候能够学习？（When Can Machines Learn？）
2. 机器为什么能够学习？（Why Can Machines Learn？）
3. 机器怎样学习？（How Can Machines Learn？）
4. 机器怎样可以学得更好？（How Can Machines Learn Better？）

本文是第4部分，对应原课程中的13-16讲。

本部分的主要内容：

• 过拟合问题，过拟合与噪声、目标函数复杂度的关系；
• 正则化，正则化与VC理论的联系；
• 验证，留一交叉验证和V-折交叉验证；
• 三个学习原则，即奥卡姆剃刀、抽样偏差和数据窥探。

1 过拟合问题

1.1 过拟合的发生

假设现在用带很小噪声的2次多项式生成了5个样本，对于这5个样本，其实用4次多项式就可以完美拟合它：

这样做可使\(E_\text{in}=0\)，但\(E_\text{out}\)却会非常大。

如果出现\(E_\text{in}\)很小，\(E_\text{out}\)很大的情况，就是出现了不好的泛化（bad generalization）。如果在训练的过程中，\(E_\text{in}\)越来越小，\(E_\text{out}\)越来越大，就称为过拟合（overfitting）。

噪声和数据规模都会影响过拟合。先来看以下两个数据集：

• 数据由10次多项式生成，有一些噪声；
• 数据由50次多项式生成，无噪声。

数据集图像如下：

如果我们用2次和10次多项式分别拟合以上两个数据集，那么在从\(g_2 \in \mathcal{H}_2\)到\(g_{10} \in \mathcal{H}_{10}\)的过程中，会发生过拟合吗？

拟合结果如下：

比较后发现，在两个数据集中，都发生了过拟合！

来看学习曲线，当\(N\to \infty\)时显然\(\mathcal{H}_{10}\)会有更小的\(\overline{E_{out}}\)，但\(N\)较小时它会有很大的泛化误差。灰色区域就是过拟合发生的区域。

其实对于由无噪声的50次多项式生成的数据，“目标函数的复杂度”本身就可以看作类似的噪声。

接下来做个更细节的实验。用

\[\begin{aligned}y &= f(x) + \epsilon\\&\sim \text{Gaussian}\left(\sum_{q=0}^{Q_f} \alpha_q x^q, \sigma^2 \right)\end{aligned}\]

生成\(N\)个数据，其中\(\epsilon\)是独立同分布的高斯噪声，噪声水平为\(\sigma^2\)，\(f(x)\)关于复杂度水平\(Q_f\)是均匀分布的。也就是说，目标函数有\(Q_f\)和\(\sigma^2\)两个变量。

然后，分别固定\(Q_f=20\)和\(\sigma^2=0.1\)，还是分别用2次和10次多项式拟合数据，并用\(E_\text{out}(g_{10})-E_\text{out}(g_{2})\)度量过拟合水平。结果如下：

颜色偏红的区域，就是发生了过拟合。

加上去的\(\sigma^2\)高斯噪声可称为stochastic noise，而目标函数的次数\(Q_f\)也有类似噪声的影响，因此可叫deterministic noise。

如果\(f\notin \mathcal{H}\)，那么\(f\)一定有某些部分就无法被\(\mathcal{H}\)所捕捉到，最好的\(h^*\in\mathcal{H}\)与\(f\)的差就是deterministic noise，它的表现与随机噪声没什么不一样（与伪随机数生成器类似）。它与stochastic noise的不同之处在于，它与\(\mathcal{H}\)有关，且对于每个\(x\)，它的值是确定的：

1.2 过拟合的处理

一般来说，处理过拟合的思路有以下几种：

• 从简单的模型开始；
• 数据清洗（data cleaning），将错误的数据修正（如更正它的标签类别）；
• 数据剪枝（data pruning），删去离群点（outlier）；
• data hinting，当样本量不够时，可以对现有样本做些简单的处理，增加样本量，如在数字分类中，可以将数据微微旋转或平移而不改变它们的标签，这样就可增大样本量；
• 正则化（regularization），见下节；
• 验证（validation），见后文。

2 正则化（regularization）

2.1 正则化

正则化的思想是好比从\(\mathcal{H}_{10}\)“逐步回退”到\(\mathcal{H}_{2}\)。这个名字的由来是在早期做函数逼近（function approximation）时，有很多问题是ill-posed problems，即有很多函数都是满足问题的解，所以要加入一些限制条件。从某种意义上说，机器学习中的过拟合也是“正确的解太多”的问题。

\(\mathcal{H}_{10}\)中假设的一般形式为

\[w_0+w_1 x+w_2 x^2+w_3 x^3+\cdots+w_{10} x^{10}\]

而\(\mathcal{H}_{2}\)中假设的一般形式为

\[w_0+w_1 x+w_2 x^2\]

其实只要限制\(w_3=w_4=\cdots=w_{10}=0\)，就会有\(\mathcal{H}_{10}=\mathcal{H}_{2}\)。如果在用\(\mathcal{H}_{10}\)时加上这个限制，其实就是在用\(\mathcal{H}_2\)做机器学习。

\(\mathcal{H}_2\)的灵活性有限，但\(\mathcal{H}_{10}\)又很危险，那有没有折中一些的假设集呢？不妨把这个条件放松一些，变成\(\sum\limits_{q=0}^{10}\mathbf{1}_{[w_1\ne 0]}\le 3\)，记在该限制下的假设集为\(\mathcal{H}_2'\)，有\(\mathcal{H}_{2}\subset \mathcal{H}_{2}' \subset \mathcal{H}_{10}\)，即它比\(\mathcal{H}_{2}\)更灵活，但又没有\(\mathcal{H}_{10}\)那么危险。

在\(\mathcal{H}_{2}'\)下，求解的问题转化成了

\[\min\limits_{\mathbf{w}\in \mathbb{R}^{10+1}} E_\text{in}(\mathbf{w})\quad \text{s.t. } \sum\limits_{q=0}^{10}\mathbf{1}_{[w_1\ne 0]}\le 3\]

这是个NP-hard问题，复杂度很高。不如再将它变为

\[\min\limits_{\mathbf{w}\in \mathbb{R}^{10+1}} E_\text{in}(\mathbf{w})\quad \text{s.t. } \sum\limits_{q=0}^{10}w^2_q \le C\]

记该假设集为\(\mathcal{H}(C)\)，它与\(\mathcal{H}_2'\)是有部分重叠的，并且对于\(C\)有软的、光滑的结构：

\[\mathcal{H}_{0} \subset \mathcal{H}_{1} \subset \cdots \subset \mathcal{H}_{\infty} =\mathcal{H}_{10}\]

记在\(\mathcal{H}(C)\)下找到的最优解为\(\mathbf{w}_\text{REG}\)。

在没有正则化时，用梯度下降更新参数的方向是\(-\nabla E_\text{in}(\mathbf{w})\)。而在加入了正则化\(\mathbf{w}^T \mathbf{w}\le C\)的限制时，必须在该限制下更新，如下图：

\(\mathbf{w}^T \mathbf{w}= C\)的法向量（normal vector）就是\(\mathbf{w}\)，从图中可知，只要\(-\nabla E_\text{in}(\mathbf{w})\)和\(\mathbf{w}\)不平行，就可继续在该限制下降低\(E_\text{in}(\mathbf{w})\)，因此，达到最优解时，一定有

\[-\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}) \propto \mathbf{w}_\text{REG}\]

由此，问题可以转化为求解

\[\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_\text{REG}) +\dfrac{2 \lambda}{N} \mathbf{w}_\text{REG}=0\]

其中\(\lambda\)是引入的拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）。假设已知\(\lambda>0\)，只需要把梯度的式子写出来，即有：

\[\dfrac{2}{N}(X^T X\mathbf{w}_\text{REG}-X^T \mathbf{y})+\dfrac{2 \lambda}{N} \mathbf{w}_\text{REG}=0\]

直接求解即可得

\[\mathbf{w}_\text{REG}\leftarrow (X^T X+\lambda I)^{-1} X^T\mathbf{y}\]

只要\(\lambda>0\)，\(X^T X+\lambda I\)就是正定矩阵，它一定可逆。

在统计学中，这通常叫岭回归（ridge regression）。

换一种视角来看，求解

\[\nabla E_\text{in}(\mathbf{w}_\text{REG}) +\dfrac{2 \lambda}{N} \mathbf{w}_\text{REG}=0\]

就等价于求解（相当于对上式两边取积分）

\[\min\limits_{\mathbf{w}} E_\text{in}(\mathbf{w})+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}\]

\(\mathbf{w}^T\mathbf{w}\)可叫regularizer，整个\(E_\text{in}(\mathbf{w})+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}\)可叫作augmented error \(E_\text{aug}(\mathbf{w})\)。

这样，原本是给定\(C\)后解一个条件最值问题，现在转化成了一个给定\(\lambda\)的无条件最值问题。

可将\(+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}\)称为weight-decay regulariztion，因为更大的\(\lambda\)，就相当于让\(\mathbf{w}\)更短一些，也相当于\(C\)更小一点。

一个小细节：在做特征变换时，如果用\(\Phi(\mathbf{x})=(1,x,x^2,\ldots,x^Q)\)，假设\(x_n \in [-1,+1]\)，那么\(x^q_n\)会非常小，这一项本来就需要很大的\(w_q\)才能起到作用，如果此时再用正则化，就对高维的系数有些“过度惩罚”了，因为它本来就要比较大才行。因此，可在多项式的空间中找出一些正交的基函数（orthonormal basis function），这是一些比较特别的多项式，叫勒让德多项式（Legendre Polynomials），再用这些多项式这样做特征变换\((1,L_1(x),L_2(x),\ldots,L_Q(x))\)即可。前5个勒让德多项式如下图：

2.2 正则化与VC理论

在最小化augmented error的时候，尽管它与带约束最值问题是等价的，但在计算时，其实并没有真正的将\(\mathbf{w}\)限制在\(\mathcal{H}(C)\)中。那么正则化究竟是怎么发生的？

可以从另一个角度看augmented error：

\[E_\text{aug}(\mathbf{w})=E_\text{in}(\mathbf{w})+\dfrac{\lambda}{N}\mathbf{w}^T\mathbf{w}\]

若记\(\mathbf{w}^T\mathbf{w}\)为\(\Omega(\mathbf{w})\)，它度量的是某个假设\(\mathbf{w}\)的复杂度。而在VC Bound中

\[E_\text{out}(\mathbf{w})\le E_\text{in}(\mathbf{w})+\Omega(\mathcal{H})\]

\(\Omega(\mathcal{H})\)度量的是整个\(\mathcal{H}\)的复杂度。如果\(\dfrac{\lambda}{N}\Omega(\mathbf{w})\)与\(\Omega(\mathcal{H})\)有某种关联，\(E_\text{aug}\)就可以直接作为\(E_\text{out}\)的代理，不需要再通过做好\(E_\text{in}\)来做好\(E_\text{out}\)，而同时，又可以享受整个\(\mathcal{H}\)的高度灵活性。

再换个角度，原本对于整个\(\mathcal{H}\)有\(d_\text{VC}(\mathcal{H})=\tilde{d}+1\)，而现在相当于只考虑\(\mathcal{H}(C)\)中的假设，也就是说VC维变成了\(d_\text{VC}(\mathcal{H}(C))\)。可以定义一个“有效VC维”\(d_\text{EFF}(\mathcal{H},\mathcal{A})\)，只要\(\mathcal{A}\)中做了正则化，有效VC维就会比较小。

2.3 更一般的正则项

有没有更一般的正则项\(\Omega(\mathbf{w})\)？该如何选择呢？有以下建议：

• 与目标有关（target-dependent），如果知道目标函数的一些性质，就可以写出来，比如我们预先知道目标函数是接近于偶函数的，那就可以选取\(\sum \mathbf{1}_{[q \text{ is odd}]} w^2_q\)；
• 合理的（plausible），可以选平滑的或简单的，如为了稀疏性而选L1正则项\(\sum\vert w_q \vert\)，下文会说明；
• 友好的（friendly），即容易优化，如L2正则项\(\sum w_q^2\)；
• 就算选的正则项不好，也没有关系，因为可以靠\(\lambda\)来调节，最差也就是相当于没有加入正则项。

L1正则项如下图：

它是凸的，但不是处处可微，加入它之后，解具有稀疏性。如果在实际中需要有稀疏解，L1就会很有用。

\(\lambda\)要怎么选呢？可根据\(E_\text{out}\)的情况选出的最优\(\lambda\)，示例如下（加粗点为最优\(\lambda\)）：

从图中可以看到，噪声越大，越需要增加regularization。

但一般情况下，噪声是未知的，该如何选择合适的\(\lambda\)？

3 验证（Validation）

3.1 验证集

\(\lambda\)该如何选择？我们完全不知道\(E_\text{out}\)，并且也不能直接通过\(E_\text{in}\)做选择。如果有一个从来没被使用过的测试集就好了，这样就可以根据测试集进行选择：

\[m^*=\mathop{\arg\min}\limits_{1\le m\le M} \left( E_m=E_\text{test}(\mathcal{A}_m(\mathcal{D})) \right)\]

并且，这样做是有泛化保证的（Hoeffding）：

\[E_\text{out}(g_{m^*})\le E_\text{test}(g_{m^*})+O(\sqrt{\dfrac{\log M}{N_\text{test}}})\]

但哪里有真正测试集？只能折中地从\(\mathcal{D}\)划分出一部分数据作为验证集\(\mathcal{D}_\text{val}\subset \mathcal{D}\)了，当然，也要求它是在过去从未被\(\mathcal{A}_m\)使用过的。

划分验证集\(\mathcal{D}_\text{val}\)的过程如下：

用训练集得到的\(g^-_m\)，也可以有泛化保证：

\[E_\text{out}(g_m^-)\le E_\text{val}(g_m^-)+O(\sqrt{\dfrac{\log M}{K}})\]

做验证时的一般流程如下：

可以看到，在用验证集选出最好的模型\(g^-_{m^*}\)后，还是要用所有的数据再训练一个最好的模型\(g_{m^*}\)出来，一般来说这次训练得到的\(g_m^*\)会由于训练数据量的更大而有更低的\(E_\text{out}\)，见下图：

图中最下面的虚线为\(E_\text{out}\)。可以看到，\(K\)不能过大或过小，如果\(K\)过小，虽然\(g_m^-\approx g_m\)，但\(E_\text{val}\)和\(E_\text{out}\)会差别很大，而如果\(K\)过大，尽管\(E_\text{val}\approx E_\text{out}\)，但会使\(g_m^-\)比\(g_m\)差很多。

我们真正想要做到的是

\[E_\text{out}(g)\approx E_\text{out}(g^-)\approx E_\text{val}(g^-)\]

第一个约等号要求\(K\)较小，第二个约等号要求\(K\)较大，因此必须选一个合适的\(K\)，按经验法则可选\(K=\dfrac{N}{5}\)。

3.2 留一交叉验证（LOOCV）

如果让\(K=1\)，即只留一个样本\(n\)作为验证集，记

\[E_\text{val}^{(n)}(g_n^-)=\text{err}(g_n^-(\mathbf{x}_n),y_n)=e_n\]

但单个\(e_n\)无法告诉我们准确的信息，要想办法对所有可能的\(E_\text{val}^{(n)}(g_n^-)\)取平均。可以用留一交叉验证（Leave-One-Out Cross Validation）：

\[E_\text{loocv}(\mathcal{H},\mathcal{A})=\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N} e_n=\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \text{err}(g_n^- (\mathbf{x}_n),y_n)\]

我们希望的是有\(E_\text{loocv}(\mathcal{H},\mathcal{A})\approx E_\text{out}(g)\)。可作证明：

\[\begin{aligned}&\mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}} E_\text{loovc}(\mathcal{H},\mathcal{A})\\ =& \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}}\dfrac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N} e_n\\=&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}} e_n\\=&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}_n} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{(\mathbf{x}_n,y_n)} \text{err}(g_n^-(\mathbf{x}_n),y_n)\\=&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \mathop{\mathcal{E}}\limits_{\mathcal{D}_n} E_\text{out}(g_n^-)\\=&\dfrac{1}{N} \sum\limits_{n=1}^{N} \overline{E_\text{out}}(N-1)\\=& \overline{E_\text{out}}(N-1)\end{aligned}\]

由于\(E_\text{loovc}(\mathcal{H},\mathcal{A})\)的期望会告诉我们一些关于\(E_\text{out}(g^-)\)的期望的信息，因此也叫作\(E_\text{out}(g)\)的“几乎无偏估计”（almost unbiased estimate）。

用手写数字识别——对数字是否为1进行分类——看看效果，两个基础特征为对称性和平均强度（average intensity），对它们进行特征变换（增加特征数量），再分别用\(E_\text{in}\)和\(E_\text{loocv}\)进行参数选择（参数是变换后的特征个数），结果如下：

如果将\(E_\text{out}\)、\(E_\text{in}\)、\(E_\text{loocv}\)分别随特征数变化而变化的情况画出来，如图：

3.3 \(V\)-折交叉验证

如果有1000个点，做留一交叉验证就要计算1000次\(e_n\)，每次计算还要用999个样本做训练，除了少数算法（如线性回归，它有解析解），在大多数情况下会非常耗时间。另一方面，由上一节最后可看到，由于\(E_\text{loocv}\)是在单个点上做平均，结果会有跳动，不够稳定。因此，在实际中，loocv并不是很常用。

在实际中，更常用的是\(V\)折交叉验证（\(V\)-Fold Cross Validation），即将\(\mathcal{D}\)随机分为\(V\)等分，轮流用每一份做验证，用剩下的\(V-1\)份做训练，在实际中一般常取\(V=10\)，如下图：

这样能计算出

\[E_\text{cv}(\mathcal{H}, \mathcal{A})=\dfrac{1}{V}\sum\limits_{v=1}^{V} E_\text{val}^{(v)}(g_v^-)\]

再用它对参数做选择：

\[m^*=\mathop{\arg\min}\limits_{1\le m\le M} \left( E_m=E_\text{cv}(\mathcal{H}_m, \mathcal{A}_m) \right)\]

值得注意的是，由于验证过程也是在做选择，它的结果依旧会比最后的测试结果乐观一些。因此，最后重要的是测试的结果，而非找出来的最好的验证的结果。

4 三个学习的原则

这里介绍三个学习的原则。

4.1 奥卡姆剃刀

首先是奥卡姆剃刀（Occam's Razor）。

这句话传说是爱因斯坦所说，但没有证据。最早可追溯到奥卡姆的话：

在机器学习中，这是说能拟合数据的最简单的模型往往是最合理的。

什么叫简单的模型呢？对于单个假设\(h\)来说，要求\(\Omega(h)\)较小即参数较少，对于一个模型（假设集）\(\mathcal{H}\)来说，要求\(\Omega(\mathcal{H})\)较小即它没包含太多可能的假设。这两者是相关的，比如\(\vert \mathcal{H} \vert\)规模是\(2^\ell\)，那么其实只需要\(\ell\)个参数就可以描述所有的\(h\)，因此小的\(\Omega(\mathcal{H})\)也就意味着小的\(\Omega(h)\)。

从哲学意义上说，越简单的模型，“拟合”发生的概率越小，如果真的发生了，那就说明数据中可能真的有一些比较重要的规律。

4.2 抽样偏差

第二个是要注意抽样偏差（Sampling Bias）。

如果数据的抽样过程存在偏差，那么机器学习也会产生一个有偏差的结果。

在讲解VC维时，提到过一个前提条件，就是训练数据和测试数据需要来自同一个分布。当无法满足时，经验法则是，尽可能让测试环境和训练环境尽可能匹配。

4.3 数据窥探

第三是要注意数据窥探（Data Snooping）。

如果你通过观察，发现数据比较符合某个模型，进而选用该模型，这是比较危险的，因为相当于加入了你大脑中的模型的复杂度。

在任何使用数据的过程中，其实都是间接窥探到了数据。在窥探了数据的表现后，做任何决策，都会引入“大脑”复杂度。

比如在做scaling时，不能把训练集和测试集放在一起做scaling，而只能对训练集做。

其实在机器学习的前沿研究中，也存在类似的情况。比如第一篇论文发现了\(\mathcal{H}_1\)会在\(\mathcal{D}\)上表现较好，而第二篇论文提出了\(\mathcal{H}_2\)，它在\(\mathcal{D}\)上比\(\mathcal{H}_1\)表现得更好（否则就不会发表），第三篇也如此……如果将所有论文看作一篇最终版的论文，那么真正的VC维其实是\(d_\text{vc}(\cup_m \mathcal{H}_m)\)，它会非常大，泛化会非常差。这是因为其实在每一步过程中，作者都通过阅读前人的文献而窥探了数据。

因此在做机器学习时，要审慎地处理数据。要避免用数据来做一些决策，即最好事先就将领域知识加入到模型中，而不是在观察了数据后再把一些特性加入模型中。另外，无论是在实际操作中，还是在看论文过程中，或者是在对待自己的结果时，都要时刻保持怀疑。