机器什么时候能够学习？

本系列是台湾大学资讯工程系林軒田（Hsuan-Tien Lin）教授开设的《机器学习基石》课程的梳理。重在梳理，而非详细的笔记，因此可能会略去一些细节。

该课程共16讲，分为4个部分：

1. 机器什么时候能够学习？（When Can Machines Learn？）
2. 机器为什么能够学习？（Why Can Machines Learn？）
3. 机器怎样学习？（How Can Machines Learn？）
4. 机器怎样可以学得更好？（How Can Machines Learn Better？）

本文是第1部分，对应原课程中的1-3讲。虽然第4讲在原课程中也放入了第1部分，但我认为它与后面第2部分的连贯性更强，因此移到后面。

本部分的主要内容：

• 介绍机器学习的概念与流程，并将它和其他几个相似的领域进行比较；
• 介绍感知机模型，说明普通的感知机学习算法PLA在什么条件下可以停下，如果不满足条件该怎么办；
• 列举机器学习的类别。

1 机器学习的概念

1.1 定义

机器学习的定义：improving some performance measure with experience computed from data。

什么时候可以用机器学习？有几个关键的地方：

• 确实存在一些需要学习的“潜在模式”，如预测下一次丢骰子的点数，就不能用机器学习；
• 没有简单的可编程的定义，如判断一张图像中是否包含了圆，就可以直接通过编程解决，不需要使用机器学习；
• 有一些关于要学习的模式的数据，如预测未来核能的滥用是否会导致地球毁灭，就不能用机器学习，因为没有历史数据。

1.2 组成部分

机器学习的实用定义如下图（灰字是以信用卡审批为例）：

可以看到，机器学习有以下几个要素：

• 未知的目标函数\(f: \mathcal X\rightarrow\mathcal{Y}\)，在例中为理想的信用卡审批规则；
• 训练样本\(\mathcal{D}\)，在例中为银行中信用卡审批的历史记录；
• 假设集\(\mathcal{H}\)，在例中为一系列的候选规则；
• 学习算法\(\mathcal{A}\)；
• 最终挑选出的假设\(g\)，满足\(g\approx f\)，在例中为最终“学习”出的规则。

机器学习的实用定义：使用数据计算出最接近于目标函数\(f\)的假设\(g\)。

1.3 和其他领域的关系

1.3.1 数据挖掘（DM）

数据挖掘：用（大）数据寻找感兴趣的性质。

• 如果这里所说的“感兴趣的性质”就是“接近目标函数的假设”，那么机器学习就等同于数据挖掘；
• 如果“感兴趣的性质”与“接近目标函数的假设”是相关的，那么数据挖掘可用来帮助机器学习，反之亦然；
• 传统的数据挖掘还关注在大数据库中的有效计算。

在现实中，很难区分ML和DM。

1.3.2 人工智能（AI）

人工智能：计算一些的有智能行为的东西。

如果\(g\approx f\)就是那个有智能行为的东西，那么ML可用于实现AI。

如下棋，传统AI的做法是做博弈树，而ML的做法是从大量数据中进行学习。因此，机器学习是实现人工智能的一种途径。

1.3.3 统计学（Statistics）

统计学：使用数据对未知过程进行推断。

• 如果推断的结果就是\(g\)，\(f\)是未知的，那么统计学就可以就用来实现机器学习；
• 传统的统计学聚焦于在数学假设下可证明的结果，而不太关注计算。

统计学为机器学习提供了很多有用的工具。

2 分类学习之感知机模型

2.1 PLA

这里介绍一个简单的分类模型：感知机（Perceptron）。

回顾上一节，在假设集\(\mathcal{H}\)中，我们可以使用哪些假设？

在分类问题中，要预测的变量是正/负，或表示成\(+1\)/\(-1\)。我们可以对自变量做线性加权求和，然后设定一个阈值，若高于阈值，则分类为正，若低于阈值，则分类为负。若将“阈值”也看作在自变量中补入的常数项（\(\mathbb{w}\)中补入对应的常数1），则这个模型可以写作\(h(x)=\text{sign}(\mathbf{w}^T\mathbf{x})\)。

每一个\(\mathbb{w}\)，都对应了一个假设。

那么，要如何从假设集\(\mathcal{H}\)中找出最接近于目标函数的\(g\)呢？也就是如何找出最好的\(\mathbb{w}\)？

可以这样做，先任意设一个初始的\(\mathbf{w}_0\)（比如\(\mathbf{0}\)），然后：

1. 从该点开始，寻找错误分类的样本点，即找到满足\(\text{sign}(\mathbf{w}^T_t \mathbf{x}_{n(t)})\ne y_{n(t)}\)的点\((\mathbf{x}_{n(t)}, y_{n(t)})\)；
2. 利用找到的错误分类点对\(\mathbf{w}\)进行更新，更新规则是：\(\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t +y_{n(t)}\mathbf{x}_{n(t)}\)。
3. 不断重复上述过程，直到找不出错误分类的点为止，最终得到要找的\(\mathbf{w}_{PLA}\)，把它作为\(g\)。

这就是感知机学习算法PLA（Perceptron Learning Algorithm）。更新规则的图示如下：

但是，以上算法仍然有不少问题：

• 该如何遍历所有的样本点？
• 它最终会停下来吗？需要满足什么条件？
• 停下来说明在样本\(\mathcal{D}\)内已经没有错误了，\(g\approx f\)，那么在样本\(\mathcal{D}\)外有用吗？
• 如果不满足使它能停下的条件怎么办？

2.2 PLA会停下吗？

PLA能停下来的必要条件是，存在一些\(\mathbf{w}\)可以在\(\mathcal{D}\)内不会犯错。这叫线性可分（linear separable）条件。那么，线性可分是PLA能停下来的充分条件吗？

答案是肯定的。证明的思路是，既然数据集线性可分，则一定存在某个\(\mathbf{w}\)将样本完美分开，记为\(\mathbf{w}_f\)，只需证明在经过有限次的迭代后的\(\mathbf{w}\)和\(\mathbf{w}_f\)的夹角的余弦的下限会超过1即可（因为余弦无法超过1，如果在经过特定次数的迭代后余弦的下限超过了1，说明在上一次迭代之后必定已经完成了完美的分类，无法找出错误分类的点进行迭代了），而余弦可以从分子（两个向量的内积）和分母（两个向量模的乘积）分别突破。具体证明如下：

因为\(\mathbf{w}_f\)能完美分开数据集中的样本，即满足

\[y_{n(t)}\mathbf{w}_f^T \mathbf{x}_{n(t)}\ge \min_n y_n \mathbf{w}_f^T \mathbf{x}_n \gt 0\]

可令\(\min_\limits{n} y_n \dfrac{\mathbf{w}_f^T}{\Vert \mathbf{w}_f\Vert} \mathbf{x}_n=\rho\)，则有

\[\begin{aligned}\mathbf{w}_f^T\mathbf{w}_t &= \mathbf{w}_f^T(\mathbf{w}_{t-1}+y_{n(t-1)}\mathbf{x}_{n(t-1)})\\&\ge \mathbf{w}_f^T\mathbf{w}_{t-1}+\rho\Vert\mathbf{w}_f\Vert\\&\ge t\rho\Vert\mathbf{w}_f\Vert\end{aligned}\]

而更新一定是在犯错的点处，所以触发第t次更新的样本一定满足\(y_{n(t-1)}\mathbf{w}^T_{t-1} \mathbf{x}_{n(t-1)}\le 0\)。令\(R^2=\max_\limits{n} \Vert x_n\Vert^2\)（\(R>0\)），则有

\[\begin{aligned}\Vert\mathbf{w}_t\Vert^2 &= \Vert\mathbf{w}_{t-1}+y_{n(t-1)}\mathbf{x}_{n(t-1)}\Vert^2\\&= \Vert\mathbf{w}_{t-1}\Vert^2+2y_{n(t-1)}\mathbf{w}^T_{t-1} \mathbf{x}_{n(t-1)}+\Vert\mathbf{x}_{n(t-1)}\Vert^2\\&\le \Vert\mathbf{w}_{t-1}\Vert^2+\Vert\mathbf{x}_{n(t-1)}\Vert^2\\&\le \Vert\mathbf{w}_{t-1}\Vert^2 + R^2\\&\le t R^2\end{aligned}\]

接下来就看一看在经过\(T\)次迭代后得到的\(\mathbf{w}_{T}\)，它和\(\mathbf{w}_f\)的夹角的余弦：

\[\begin{aligned}&\dfrac{\mathbf{w}_f^T\mathbf{w}_{T}}{\Vert\mathbf{w}_f\Vert\Vert\mathbf{w}_{T}\Vert} \ge \dfrac{T\rho\Vert\mathbf{w}_f\Vert}{\Vert\mathbf{w}_f\Vert \sqrt{T R^2}}=\sqrt{T}\dfrac{\rho}{R}\end{aligned}\]

而余弦必定小于1，因此必有迭代次数\(T\le \dfrac{R^2}{\rho^2}\)，证明完毕。

从直觉上理解，PLA算法通过不断迭代，可以使得\(\mathbf{w}\)越来越接近于\(\mathbf{w}_f\)。

PLA算法的优点是简单、快、对任意维度的数据都可用，但缺点在于，一方面我们假设了数据集\(\mathcal{D}\)是线性可分的，而现实中我们不知道是否真的如此，另一方面我们不知道它到底多久会停下，尽管在实践中算法往往很快停下。

2.3 Pocket算法

如果数据中有噪声，导致数据集不是线性可分的，怎么办？

当然，可以直接取\(\mathop{\arg\min}\limits_{w}\sum\limits_{n=1}^{N}{\mathbf{1}_{[y_n\ne \text{sign}(\mathbf{w}^T\mathbf{x}_n)]}}\)作为\(\mathbf{w}_g\)，但由于要一一遍历所有样本，这是个NP-hard问题。

那怎么办呢？可以对PLA做一些修改：

• 把当下找到的最佳\(\hat{\mathbf{w}}\)先存起来，就好比放在口袋里；
• 在找到一个使\(\mathbf{w}_t\)分类错误的样本之后，进行和PLA一样的更新，即\(\mathbf{w}_{t+1}\leftarrow\mathbf{w}_t +y_{n(t)}\mathbf{x}_{n(t)}\)；
• 比较\(\mathbf{w}_{t+1}\)和\(\hat{\mathbf{w}}\)在整个数据集上谁犯的错误较少，若前者少，则将前者放入口袋，反之仍保留\(\hat{\mathbf{w}}\)在口袋中；
• 不断循环，在经过一定次数的迭代后，停止上述过程，最终在口袋中的\(\hat{\mathbf{w}}\)就取为\(g\)。

由于始终有一个\(\hat{\mathbf{w}}\)在口袋中，因此这种算法被称为Pocket算法。

3. 学习的分类

依据输出空间\(\mathcal{Y}\)的不同来分：

• 二分类问题：\(\mathcal{Y}\)为\(+1\)或\(-1\)；
• 多分类问题：\(\mathcal{Y}\)有更多的类别；
• 回归：\(\mathcal{Y}=\mathbb{R}\)或\(\mathcal{Y}=[\text{lower}, \text{upper}]\subset\mathbb{R}\)；
• 结构学习（Structured Learning）：\(\mathcal{Y}\)是某种结构，如学习出句子的结构等。

依据数据标签\(y_n\)的不同来分：

• 监督（Supervised）学习：每个\(\mathbf{x}_n\)都有对应的\(y_n\)；
• 无监督（Unsupervised）学习，没有标签\(y_n\)，如聚类、密度估计、离群点检测等；
• 半监督（Semi-supervised）学习：只有一小部分数据有标签，需要充分利用无标签数据，避免代价昂贵的手动打标签；
• 强化学习（Reinforcement Learning）：\(y_n\)被隐含在goodness\((\tilde{y}_n)\)中。

依据\(f\Rightarrow (\mathbf{x}_n, y_n)\)的不同来分：

• Batch：所有的数据都是已知的；
• Online：被动获取的序列数据；
• Active Learning：通过策略不断主动询问某个\(\mathbf{x}_n\)的\(y_n\)是什么，来获得序列数据。

依据输入空间\(\mathcal{X}\)的不同来分：

• 具体的（Concrete）特征：\(\mathcal{X}\subseteq \mathbb{R}^d\)的每个维度都有复杂的物理意义。
• 原始的（Raw）特征：只有简单的物理意义，如手写数字识别，特征是每个像素点的灰度，往往需要人或机器将它转换为具体的特征。
• 抽象的特征：没有或几乎没有物理意义，如打分预测系统，\(\mathcal{X}\)是用户id，\(\mathcal{Y}\)是对某部电影的评分，也需要做特征转换/抽取/构造。