扩展中国剩余定理（EXCRT）学习笔记

用途

求解同余方程组

\(\begin{cases}x\equiv c_{1}\left( mod\ m_{1}\right) \\ x\equiv c_{2}\left( mod\ m_{2}\right) \\ \ldots \\ x\equiv c_r\left( mod\ m_r\right) \end{cases}\)

其中 \(m_1,m_2,m_3...m_k\) 为不一定两两互质的整数， 求 \(x\) 的最小非负整数解。

求法

考虑两两合并同余方程，使得新得到的同余方程满足之前两个同余方程的限制条件。

这样合并到最后只剩下一个同余方程直接输出答案即可。

对于两个同余方程 \(x\%a_1=b_1,x\%a_2=b_2\)，

令 \(x=k_1a_1+b_1,x=k_2a_2+b_2\)，

那么有 \(k_1a_1+b_1=k_2a_2+b_2\)，

\(k_1a_1-k_2a_2=b_2-b_1\)，

令 \(d=gcd(a_1,a_2)\)，如果 \((b_2-b_1)\%d \ne 0\)，那么无解。

否则对于方程两边同时除以 \(d\)，

\(k_1\frac{a_1}{d}-k_2\frac{a_2}{d}=\frac{b_2-b_1}{d}\),

\(k_1\frac{a_1}{d}=\frac{b_2-b_1}{d}+k_2\frac{a_2}{d}\)，

可以看作 \(k_1\frac{a_1}{d}\%\frac{a_2}{d}=\frac{b_2-b_1}{d}\)，

令 \(inv=\frac{a_1}{d} \% \frac{a_2}{d}\) 意义下的逆元，

对于方程两边同时乘 \(inv\)，

有 \(k_1\%\frac{a_2}{d}=\frac{inv(b_2-b_1)}{d}\)，

展开后有 \(k_1=\frac{inv(b_2-b_1)}{d}+k_2\frac{a_2}{d}\)，

代入开始的 \(x=a_1k_1+b_1\)，

有 \(x=\frac{a_1inv(b_2-b_1)}{d}+k_2\frac{a_1a_2}{d}+b_1\)，

把 \(\frac{a_1a_2}{d}\) 看成新的 \(a\)，把 \(\frac{a_1inv(b_2-b_1)}{d}+b_1\) 看成新的 \(b\) 即可。

代码

【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#define rg register
template<typename T>void read(rg T& x){
	x=0;rg int fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	x*=fh;
}
const int maxn=1e5+5;
int n;
long long a[maxn],b[maxn];
long long gcd(rg long long aa,rg long long bb){
	return bb==0?aa:gcd(bb,aa%bb);
}
long long lcm(rg long long aa,rg long long bb){
	return aa/gcd(aa,bb)*bb;
}
long long exgcd(rg long long aa,rg long long bb,rg long long&xx,rg long long&yy){
	if(bb==0){
		xx=1,yy=0;
		return aa;
	}
	rg long long nans=exgcd(bb,aa%bb,xx,yy);
	rg long long t=xx;
	xx=yy;
	yy=t-aa/bb*yy;
	return nans;
}
long long getinv(rg long long val,rg long long mod){
	rg long long xx,yy;
	exgcd(val,mod,xx,yy);
	return (xx%mod+mod)%mod;
}
long long gsc(rg long long ds,rg long long zs,rg long long mod){
    return ((unsigned long long)(ds*zs)-(unsigned long long)((long double)ds/mod*zs)*mod+mod)%mod;
}
int main(){
	read(n);
	for(rg int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),read(b[i]);
	rg long long newa,newb,tmp;
	for(rg int i=2;i<=n;i++){
		newa=lcm(a[i],a[i-1]),tmp=gcd(a[i],a[i-1]);
		newb=gsc((b[i]-b[i-1])/tmp,getinv(a[i-1]/tmp,a[i]/tmp),newa);
		newb=gsc(newb,a[i-1],newa)+b[i-1];
		newb=(newb%newa+newa)%newa;
		a[i]=newa,b[i]=newb;
	}
	printf("%lld\n",b[n]);
	return 0;
}