题目描述
平面上有 \(n\) 个点，第 \(i\) 个点坐标为 \((x_i, y_i)\)。连接 \(i, j\) 两点的边权为 \(\sqrt{(x_i - x_j) ^ 2 + (y_i - y_j) ^ 2}\)。求最小生成树的边权之和。
输入格式
第一行一个整数 \(n\)。
接下来 \(n\) 行，每行输入两个整数 \(x_i, y_i\)。
输出格式
输出一行一个实数，表示答案。
当你的答案与标准输出的绝对误差或相对误差在 \(10^{-6}\) 内时，就会被视为正确。
输入输出样例
输入 #1
4
0 0
1 2
-1 2
0 4
输出 #1
6.472136
说明/提示
样例解释 1
该样例中，最小生成树如下图所示：
边权之和为 \(2 \sqrt{5} + 2 \approx 6.47213595500\)
数据规模与约定
对于 \(50\%\) 的数据，\(n \le 5000\)。
对于 \(100\%\) 的数据，\(3 \le n \le 10 ^ 5\)，\(\lvert x_i \rvert, \lvert y_i \rvert \le 10 ^ 5\)。
分析
边数太多，肯定不能用 \(Kruskal\)
\(n^2\) 的 \(Prim\) 也过不去
所以可以用 \(Boruvka\) 算法
找到某一个点距离最近的点用 \(kdtree\) 查询就行了
查询的时候加一个剪枝，初始的答案不要置为无穷大，要设为当前联通块内的最优解
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rg register
inline int read(){
rg int x=0,fh=1;
rg char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=1e5+5;
int cnt,orz,n,rt,x[maxn],y[maxn];
struct KDT{
int mn[2],mx[2],d[2],lc,rc,id,col;
friend bool operator <(const KDT& A,const KDT& B){
return A.d[orz]<B.d[orz];
}
}tr[maxn],jl[maxn];
void push_up(rg int da){
rg int lc=tr[da].lc,rc=tr[da].rc;
for(rg int i=0;i<2;i++){
tr[da].mn[i]=tr[da].mx[i]=tr[da].d[i];
if(lc){
tr[da].mx[i]=std::max(tr[da].mx[i],tr[lc].mx[i]);
tr[da].mn[i]=std::min(tr[da].mn[i],tr[lc].mn[i]);
}
if(rc){
tr[da].mx[i]=std::max(tr[da].mx[i],tr[rc].mx[i]);
tr[da].mn[i]=std::min(tr[da].mn[i],tr[rc].mn[i]);
}
}
}
int build(rg int l,rg int r,rg int pl){
orz=pl;
rg int mids=(l+r)>>1;
std::nth_element(jl+l,jl+mids,jl+r);
tr[mids]=jl[mids];
if(l<mids) tr[mids].lc=build(l,mids-1,!pl);
if(mids<r) tr[mids].rc=build(mids+1,r,!pl);
push_up(mids);
return mids;
}
long long getdis(rg int ax,rg int ay,rg int bx,rg int by){
return 1LL*(ax-bx)*(ax-bx)+1LL*(ay-by)*(ay-by);
}
long long sqr(rg int aa){
return 1LL*aa*aa;
}
long long mindis(rg int da,rg int xx,rg int yy){
rg long long mans=0;
mans+=sqr(std::max(0,xx-tr[da].mx[0])+std::max(0,tr[da].mn[0]-xx));
mans+=sqr(std::max(0,yy-tr[da].mx[1])+std::max(0,tr[da].mn[1]-yy));
return mans;
}
long long nans=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int haha=0;
void cx(rg int da,rg int xx,rg int yy,rg int zz){
if(!da) return;
rg long long tmp=getdis(xx,yy,tr[da].d[0],tr[da].d[1]);
if(tr[da].col!=zz && nans>tmp){
nans=tmp,haha=tr[da].id;
}
tmp=mindis(da,xx,yy);
if(tmp>=nans) return;
rg long long tmp1=0x3f3f3f3f3f3f3f3f,tmp2=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
if(tr[da].lc) tmp1=mindis(tr[da].lc,xx,yy);
if(tr[da].rc) tmp2=mindis(tr[da].rc,xx,yy);
if(tmp1<tmp2){
if(tmp1<=nans) cx(tr[da].lc,xx,yy,zz);
if(tmp2<=nans) cx(tr[da].rc,xx,yy,zz);
} else {
if(tmp2<=nans) cx(tr[da].rc,xx,yy,zz);
if(tmp1<=nans) cx(tr[da].lc,xx,yy,zz);
}
}
double ans=0;
int bes[maxn],fa[maxn],tot;
long long bes2[maxn];
int zhao(rg int xx){
if(xx==fa[xx]) return xx;
return fa[xx]=zhao(fa[xx]);
}
double getdis2(rg int ax,rg int ay,rg int bx,rg int by){
return sqrt(1.0*(ax-bx)*(ax-bx)+1.0*(ay-by)*(ay-by));
}
int main(){
n=read();
for(rg int i=1;i<=n;i++) jl[i].d[0]=read(),jl[i].d[1]=read(),jl[i].id=jl[i].col=i,x[i]=jl[i].d[0],y[i]=jl[i].d[1];
for(rg int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
rt=build(1,n,0);
rg int tmp=0;
while(tot<n-1){
for(rg int i=1;i<=n;i++) bes[i]=0,bes2[i]=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
for(rg int i=1;i<=n;i++){
tmp=zhao(i);
nans=bes2[tmp],haha=-1;
cx(rt,x[i],y[i],tmp);
if(haha==-1) continue;
if(bes2[tmp]>nans){
bes2[tmp]=nans;
bes[tmp]=haha;
} else if(bes2[tmp]==nans){
if(bes[tmp]<haha) bes[tmp]=haha;
}
}
for(rg int i=1;i<=n;i++){
tmp=zhao(i);
if(bes[tmp] && tmp!=zhao(bes[tmp])){
fa[tmp]=zhao(bes[tmp]);
ans+=sqrt((double)bes2[tmp]);
tot++;
}
}
for(rg int i=1;i<=n;i++){
tr[i].col=zhao(tr[i].id);
}
}
printf("%.6f\n",ans);
return 0;
}