一直在读《陶哲轩实分析》，陶的书非常的严谨，环环相扣，但是也有个缺点就是计算性的例子和应用方面的例子太少了。所以就又找了本柯朗的《微积分与数学分析》搭配着看。柯朗的书的习题与陶的风格完全不同，里面有大量的考察技巧性的习题，有些题相当有难度，第一卷又没有提供习题答案。我试着解了一小部分习题，放到这里，供有需要的同学参考。能力有限，有些题确实搞不定，有些题给的答案可能是错的。所以仅供参考。

柯朗微积分与数学分析习题选解(1.1 节 a)

第一题

1(a)

反证法：如果 a + x 是有理数，那么可以表示为两个整数之比 pax/qax。又因为 a 是 有理数，所以可以写为 pa/qa。那么：

x=paxqax−paqa=paxqa−paqaxqaxqa

所以 x 也是有理数，矛盾。

1(b)

设 a 和 b 是不相等的两个有理数。那么:

a<a+(b−a)2√<b

是无理数。

第二题

试证明下列各数不是有理数。

2(a) 3√

反证法：如果 3√ 是有理数，那么可以表示为 3√=p/q

那么：

3=p2q2→p2=3q2

所以 p2 含有因子 3，也就是说 p含有因子 3，也就是说 p 可以写为:

p=3n

那么

9n2=3q23n2=q2

所以 q 也含有因子 3，这与 p,q 是最简分数矛盾。

2（b）n√

反证法：如果 n√ 是有理数，那么可以表示为 n√=p/q

那么：

n=p2q2→p2=nq2

所以 p2 含有因子 n，又因为 n 不是完全平方数，所以 p 含有因子 n，也就是说 p 可以写为:

p=nm

那么

n2m2=nq2nm2=q2

所以 q 也含有因子 n，这与 p,q 是最简分数矛盾。

2(c) 2√3

反证法：如果 2√3 是有理数，那么可以表示为 2√3=p/q

那么：

2=p3q3→p3=2q3

所以 p3 含有因子 2，所以 p 含有因子 2，也就是说 p 可以写为:

p=2m

那么

8m3=2q34m3=q3

所以 q 也含有因子 2，这与 p,q 是最简分数矛盾。

2(d) n√p 其中 n 不是完全 p 次幂。

反证法：如果 n√p 是有理数，那么可以表示为 n√p=P/Q

那么：

n=PpQp→Pp=nQp

所以 Pp 含有因子 n，所以 P 含有因子 n，也就是说 P 可以写为:

P=nm

那么

npmp=nQpnp−1mp=Qp

所以 Q 也含有因子 n，这与 p,q 是最简分数矛盾。

第三题

3(a) 对于整系数多项式

anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=0

如果有有理根，若记其为既约分数 p/q 那么，证明 p 是 a0 的因子， q 是 an 的因子。

将 x=p/q 带入原式子中，有：

anpnqn+an−1pn−1qn−1+⋯+a1pq+a0=0anpn+an−1qpn−1+⋯+a1qn−1p+a0qn=0

所以：

a0qnp=−(anpn−1+an−1pn−2q+⋯+a1qn−1)anpnq=−(an−1pn−1+⋯+a1qn−2p+a0qn−1)

所以 a0 含有因子 p，an 含有因子 q。

3(b) 证明 2√+2√3 和 3√+2√3 都是无理数。

这道题难度很大，我是借助数学软件才凑出答案的。

设：

x=2√y=2√3z=x+y=2√+2√3

那么可以验算：

z=x+yz2=2+2xy+y2z3=2+2x+6y+3xy2z4=4+8x+2y+8xy+12y2z5=40+4x+20y+10xy+2y2+20xy2z6=12+80x+60y+24xy+60y2+12xy2z7=280+36x+60y+140xy+84y2+84xy2

先想办法去掉含有 y2 的项：

z=x+yz3=2+2x+6y+3xy2z4−12z2=−20+8x+2y−16xyz5−2z2=36+4x+20y+6xy+20xy2z6−60z2=−108+80x+60y−96xy+12xy2z7−84z2=112+36x+60y−28xy+84xy2

再想办法去掉含有 xy2 的项：

z=x+yz4−12z2=−20+8x+2y−16xy3(z5−2z2)−20z2=8−28x−60y+18xyz6−60z2−4z3=−116+72x+36y−96xy3(z7−84z2)−84z3=168−60x−324y−84xy

再想办法去掉含有 xy 的项：

z=x+y8(3(z5−2z2)−20z2)+9(z4−12z2)=364−152x−462y(z6−60z2−4z3)−6(z4−12z2)=4+24x+24y4(3(z7−84z2)−84z3)−21(z4−12z2)=1092−408x−1338y

再想办法去掉含有 y 的项：

8(3(z5−2z2)−20z2)+9(z4−12z2)+462z=364+310x(z6−60z2−4z3)−6(z4−12z2)−24z=44(3(z7−84z2)−84z3)−21(z4−12z2)+1338z=1092+930x

再想办法去掉含有 x 的项：

(z6−60z2−4z3)−6(z4−12z2)−24z=44(3(z7−84z2)−84z3)−21(z4−12z2)+1338z−3(8(3(z5−2z2)−20z2)+9(z4−12z2)+462z)=0

这两个式子化简后的结果是：

−4−24z+12z2−4z3−6z4+z6=012z+48z2−84z3−12z4−18z5+3z7=0

上面第一个式子比较简单，我们就分析这第一个式子。

因为 a6=1 所以如果上面方程有有理数解，那么解的分母只能是 1，也就是说解只能是整数。所以2√+2√3 是无理数。

设 x=3√+2√3 用类似的方法，可以凑出：

x6−9x4−4x3+27x2−36x−23=0

因为 a6=1 所以如果上面方程有有理数解，那么解的分母只能是 1，也就是说解只能是整数。所以3√+2√3 是无理数。