这是爱奇艺的一道算法题。

题目描述请参考博客http://blog.csdn.net/sinat_30186009/article/details/52356053,在此表示感谢。

基本思路参考了以上文章,但是上面文章中的算法是java版,这是次要的,主要的问题是算法用的是原始递归思想,这样会造成计算量及其大,时间复杂度为O(n^2)。

本文旨在用C++语言解决上述问题,并且在递归的基础上进行改进,使得时间复杂度降为O(n)。其中n为高度矩阵的元素个数即row*col。

代码说明:

 输入:

  高度矩阵行数: row

  高度矩阵列数: col

  高度矩阵     : dots

 输出:

  最长滑道值:LargestSlideValue

  滑道长度矩阵:dotsLength,该矩阵最大值到最小值的路径即为最长滑道路径

  函数findLargestSlide()调用次数:Call_Of_findLargestSlide()

 #include <iostream>
#include <vector>
#include <iomanip> using namespace std; //减少寻找过程(前面几种算法都会重复计算,本算法记录每个点的最大路径,下次寻找到该点时直接加即可!降低时间复杂度关键思想)
int countfindLargestSlide=;//用于计录函数findLargestSlide调用次数
//寻找最长滑道路径(前后两点不等高)
int findLargestSlide(int x,int y,const vector<vector<int> >& dots,vector<vector<int> >& dotsLength)
{
countfindLargestSlide++; int left=y-;
int right=y+;
int up=x-;
int down=x+; int left_value=;
int right_value=;
int up_value=;
int down_value=; if(left>=&&dots[x][left]<dots[x][y]){
if(==dotsLength[x][left])//如果为0,表示该点没有被计算过,因此需要调用findLargestSlide来寻找基于该点的最长滑道
dotsLength[x][left]=left_value=findLargestSlide(x,left,dots,dotsLength);
else  //如果不为0,表示该点已经被计算过,不用重新计算,下同(降低时间复杂度关键代码)
left_value=dotsLength[x][left];
} if(right<=(int)dots[].size()-&&dots[x][right]<dots[x][y]){
if(==dotsLength[x][right])
dotsLength[x][right]=right_value=findLargestSlide(x,right,dots,dotsLength);
else
right_value=dotsLength[x][right];
} if(up>=&&dots[up][y]<dots[x][y]){
if(==dotsLength[up][y])
dotsLength[up][y]=up_value=findLargestSlide(up,y,dots,dotsLength);
else
up_value= dotsLength[up][y];
} if(down<=(int)dots.size()-&&dots[down][y]<dots[x][y]){
if(==dotsLength[down][y])
dotsLength[down][y]=down_value=findLargestSlide(down,y,dots,dotsLength);
else
down_value= dotsLength[down][y];
} int max1=left_value>=right_value?left_value:right_value;
int max2=up_value>=down_value?up_value:down_value;
int max=max1>=max2?max1:max2; dotsLength[x][y]=max+;//加上寻找点自身的路径长度1 return dotsLength[x][y];
} int main()
{
//行和列
int row,col=;
cout<<"please input row and col: ";
cin>>row>>col;
cout << "row= "<<row<<" "<<"col= "<<col << endl;
cout<<"please input dotsMatrix:"<<endl;
//矩阵(每点代表一个高度)
vector<vector<int> > dots(row,vector<int>(col,));
//输入矩阵
for(vector<int>& valrow:dots)
for(int & valcol:valrow)
cin>>valcol; //矩阵,记录每个点对应的滑道长度
vector<vector<int> > dotsLength(row,vector<int>(col,));
cout<<"--------------------"<<endl;
//输出矩阵以验证矩阵确实输入正确
cout<<"dots:"<<endl;
for(int i=;i<row;i++)
{
for(int j=;j<col;j++)
cout<<setw()<<dots[i][j];
cout<<endl;
} int max_value=;
for(int i=;i<row;i++)
{
for(int j=;j<col;j++)
{
int current_value=findLargestSlide(i,j,dots,dotsLength);
if(current_value>max_value)
{
max_value=current_value;
}
}
} cout<<"--------------------"<<endl;
cout<<"LargestSlideValue= "<<max_value<<endl;
cout<<"--------------------"<<endl;
//输出dotsLength,从该矩阵中可以方便直观地看出滑动路线(可能有多条,从最大值到最小值)
cout<<"dotsLength:"<<endl;
for(int i=;i<row;i++)
{
for(int j=;j<col;j++)
cout<<setw()<<dotsLength[i][j];
cout<<endl;
}
cout<<"--------------------"<<endl;
//输出调用findLargestSlide函数的次数,本程序时间复杂度为线性复杂度:O(n)
cout<<"Call_Of_findLargestSlide(): "<<countfindLargestSlide<<endl; return ;
}

简单对比一下改进前后的效果:

测试样例:

最长滑道问题(非递归,C++)-LMLPHP

改进前:

最长滑道问题(非递归,C++)-LMLPHP

改进后:

最长滑道问题(非递归,C++)-LMLPHP

可以看出,最长滑道长度为17,改进前,函数findLargestSlide()调用841次,改进后为54次,因此我们用递归算法时一定要考虑是否可以优化。

滑道长度矩阵dotsLength中的每个值代表从该点开始滑下,可获得的滑道最长值。长度为17的最长滑道标注如下图:

最长滑道问题(非递归,C++)-LMLPHP

意即从高度为23的顶端(dotsLength中对应的点)沿着图中蓝线一直滑到高度为1的底部(dotsLength中对应的点)。当然还有其他长度的滑道,可以从图中方便地找出来。

最后,关于时间复杂度的具体数值,时间复杂度在改进前后分别为O(n^2)和O(n),但需要注意的是,即使同样维度的矩阵,数值不同的时候函数findLargestSlide()的调用次数可能不同,但时间复杂度量级是相同的。

时间复杂度简要分析:

  改进前:粗略计算应为30*30,但是不可能每个点都会讲所有点递归计算一遍,因此最终的结果841要小于30*30=900。

  改进后:时间复杂度应该为30呀?为啥这里比30大呢?因为在main()函数内,每个元素均要计算基于它的最长滑道,均要调用一次findLargestSlide()函数,总共30个点,因此调用30次。但是要注意的是,主函数计算基于每个值的最长滑道时,并不知道这个值之前有没有被计算过,它只有按照main()函数的流程再次调用findLargestSlide()函数,进入之后才知道是否被计算过,因此要加上前面计算其他点时递归计算过该点的次数(每个点最多一次,可能0次),因此所以就比30大了,但绝对不会超过30*2-1=59(这种情况发生在计算每个点的最长滑道时都发现之前被递归计算过,除了第一个点)。因此精确的时间复杂度为:最好时为n次,最坏时为2n-1次。

举例:

测试数据(一种最坏情况):

最长滑道问题(非递归,C++)-LMLPHP

另一种最坏情况:

最长滑道问题(非递归,C++)-LMLPHP

以第一种最坏情况为例(都是一样的),第一次计算30对应的最长滑道时,已经递归计算了其他点的最长滑道(总共计算了30次),然而main()函数并不知道这一点呀,因此继续计算29对应的最长滑道,进去发现,哎呀!已经计算过了那太好了(但是记得从main()函数调用findLargestSlide()也要计数,加1次),同样,28,27,26,...,3,2,1,直到计算完毕,总共调用findLargestSlide()函数的次数为30+29*1=59次。

最长滑道问题(非递归,C++)-LMLPHP

测试数据(一种最好情况):

最长滑道问题(非递归,C++)-LMLPHP

在上面的最好情况下,每次只计算一个点对应的最长滑道,不会出现递归计算,总共调用findLargestSlide()函数的次数为30次(均为main()函数调用)。

最长滑道问题(非递归,C++)-LMLPHP

就到这里啦,有不足的地方敬请指正,欢迎交流。

附注(文章https://blog.csdn.net/sinat_30186009/article/details/52356053内容)

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